Sobre la construccion de la Clausura Algebraica

febrero 24, 2009

En general para demostrar que para todo cuerpo K existe su clausura algebraica se procede de la siguiente manera:

Pongamos E_0=K y construyamos una extension algebraica E_1/E_0 tal que todo polinomio de E_0[x] tenga una raiz en E_1 (*). Analogamente se va construyendo una sucesion de cuerpos (cada uno algebraico sobre el anterior) tal que todo polinomio en E_n[x] tenga una raiz en E_{n+1}

E_1\subset E_2\subset...\subset E_n\subset ..

Finalmente se toma E=\bigcup E_n y se prueba que todo polinomio en E[x] tiene una raiz en E de donde E es algebraicamente cerrado.

Vale la pena remarcar que en realidad no hace falta irse tan lejos, de hecho E_1 ya es algebraicamente cerrado!!!!

Mas precisamente:

Sea E/K una extension algebraica de cuerpos tal que todo polinomio en K[x] tiene una raiz en E. Probar que E es algebraicamente cerrad0.

Demostracion 1:

Vamos a suponer K perfecto.

Sea P(x)\in K[x] un polinomio y L su cuerpo de descomposicion, vamos a probar que L\subset E lo que prueba el resultado.

Como L/K es finita y separable entonces existe \alpha \in L tal que L=K(\alpha). Si Q(x) es el polinomio minimal de \alpha sobre K entonces existe \beta \in E con Q(\beta)=0. Pero como \alpha y \beta son conjugados y L/K es normal, entonces L=K(\alpha)=K(\beta)\subset E como queriamos. \ddag

Demostracion 2:

En esta demostracion vamos a suponer K infinito. Lo que dice el enunciado es que todo numero algebraico sobre K tiene un conjugado en E.

Sea \alpha algebraico sobre K y \alpha_1,\ldots,\alpha_n sus conjugados (\alpha=\alpha_1). Si k_1,...,k_n\in K entonces los conjugados de k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_n\alpha_n son de la forma:

\alpha(\sigma, k_1,....,k_n)=k_1\alpha_{\sigma(1)}+k_2\alpha_{\sigma(2)}+...+k_n\alpha_{\sigma(n)}

Si V_{\sigma}=\{(k_1,...,k_n)\in K^n:\alpha(\sigma,k_1,...,k_n)\in E\} entonces para todo (k_1,...,k_n)\in K^n debe existir una permutacion \sigma\in {\mathbb S}_n tal que (k_1,...,k_n)\in V_{\sigma},  es decir que K^n=\bigcup V_{\sigma}.

Pero como K es infinito entonces K^n no es una union finita de subespacios propios. Luego existe \sigma\in {\mathbb S}_n tal que K^n=V_\sigma o lo que es lo mismo para todo k_1,...,k_n\in K

k_1\alpha_{\sigma(1)}+k_2\alpha_{\sigma(2)}+...+k_n\alpha_{\sigma(n)}\in E

Tomando (k_1,k_2,...,k_n)=(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1) se tiene que \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \in E. Hemos probado entonces que todo numero algebraico sobre K esta contenido en E y como E/K es algebraica entonces E es la clausura algebraica de K. \ddag

Como todo cuerpo finito es perfecto las demostraciones se complementan. De todas formas los dos argumentos se pueden arreglar  (ver aca, el truco para hacer el caso K finito siempre me parecio muy simpatico!) (a decir verdad ahora no recuerdo como se arreglaba la primer demostracion y tampoco entiendo que quise decir en ese post al respecto).

(*) La construccion de E_1 es bastante divertida.  Sea F el conjunto de polinomios monicos e irreducibles  de K[x]  y tomemos por cada uno de ellos una variable X_f. Definamos ahoraT=K[X_f:f\in F] (un anillo de polinomios en infinitas variables con coeficientes en K).

Sea {\cal M}_F el ideal {\cal M}_F=<f(X_f),f\in F>, se prueba que 1\notin {\cal M}_F y se toma un ideal maximal {\cal M} que lo contenga. Finalmente se pone E=T/{\cal M} (notar que es una extension algebraica de K trivialmente).

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