Dominios de Dedekind

febrero 19, 2009

En lo que sigue consideremos un anillo integro con unidad R y denotemos por K su cuerpo de fracciones (asumamos de paso que R\neq K). Un ideal fraccionario I es un R-submodulo de K finitamente generado.

Las siguientes afirmaciones sobre R son equivalentes:

1) Todo ideal se factoriza de forma unica como producto de primos.
2) Es noetheriano, primo implica maximal e integramente cerrado.
3) Todo ideal fraccionario es inversible (ie: para todo ideal fraccionario I existe un ideal fraccioanrio J tal que IJ=R).

Es interesante como varios libros de textos definen un anillo de Dedekind via 2) y luego prueban 1) sin mencionar que esto es en realidad una equivalencia (e historicamente la motivacion original para estudiar tales anillos!!). Esto se debe a que en general es mucho mas facil chequear 2) que 1) (por ejemplo para el caso del anillo de enteros de un cuerpo de numeros).

La condicion 1) se puede relajar a que todo ideal sea producto de primos (la unicidad sale de regalo). Si todo ideal de R se escribe de forma unica como producto de primos entonces “dividir es contener”, es decir que I|J si y solo si J\subset I. De lo anterior toda cadena creciente de ideales es estacionaria (o sea que R es noetheriano) y primo implica maximal. Lo que es un poco mas dificil es probar que tal anillo es integramente cerrado.

Supongamos que {a\over b}\in K satisface un polinomio monico con coeficientes en R. Luego tenemos una relacion de la forma

a^n= -r_{n-1}a^{n-1}b-...-r_1ab^{n-1}-r_0b^n

Ahora, para cada ideal primo {\cal P}, si {\cal P}^{\alpha}||< a > y {\cal P}^{\beta}||<b> entonces \alpha\geq \beta. En caso contrario el lado derecho de la igualdad anterior esta en {\cal P}^{n\alpha+1} lo que seria absurdo ya que {\cal P}^{n\alpha}||<a^n>. Como hay factorizacion unica de ideales, \alpha\geq \beta para todo primo \cal P quiere decir que <b> divide a <a> de donde <b> contiene a “a” o lo que es lo mismo {a\over b}\in R como queriamos.

Si R es un anillo integro con unidad y noetheriano, entonces la propiedad de ser o no ser un anillo de Dedekind es local:

4) R es Dedekind si y solo si sus localizaciones en ideales maximales R_m son siempre anillos de valoracion discreta (anillos locales cuyo unico ideal maximal es principal).

Otra equivalencia interesante es la siguiente:

5) R es Dedekind si y solo si todo R-modulo divisible es inyectivo (cualquier modulo inyectivo es divisible).

Para un dominio de Dedekind R sea I_R el grupo de ideales fraccionarios con la multiplicacion (notar que esto es efectivamente un grupo ya que los ideales fraccionarios son inversibles) y consideremos el subgrupo P_R\subset I_R de ideales fraccionarios principales. Se define el grupo de clases de R al que denotamos por Cl_R como:

Cl_R=I_R \backslash P_R

No es cierto que todo Anillo de Dedekind sea un dominio de factorizacion unica, por ejemplo si R={\mathbb Z}[{\sqrt -5}] entonces:

21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt -5})\cdot (1-2{\sqrt -5})

Segun Kummer esta falta de factorizacion unica es debido a que “faltan factores”, su idea era pensar que nuestro anillo es parte de un anillo mas grande que sí tenga factorizacion unica. A los elementos nuevos de este anillo mas grande los llamó “numeros ideales”.

Mas tarde Dedekind se dio cuenta que para restituir la factorizacion unica no hacia falta pasar a un anillo mas grande, estos “numeros ideales” se pueden caracterizar por el conjunto de sus multiplos en el anillo mas chico R.  Este “conjunto de multiplos” no es otra cosa que un ideal de R (y de ahi el nombre!!!). Dedekind propuso entonces que si bien el 21 no admite una unica factorizacion como producto de “numeros primos”, sí se factoriza de forma unica como producto de “ideales primos”:

21=(3,1-{\sqrt-5})(3,2-{\sqrt -5})(7,3-{\sqrt-5})(7,4-{\sqrt -5})

En conclusion, si bien un anillo de Dedekind R no tiene porque tener factorizacion unica, sí la tiene a nivel de ideales. El grupo de clases Cl_R lo que mide es que tan lejos estan los ideales principales (ie: los numeros) de ser todos los ideales o en definitiva que tan lejos esta R de tener factorizacion unica.

Teorema:
Un anillo de Dedekind R es un dominio de factorizacion unica si y solo si es de ideales principales.

Demostracion:
Todo dominio de ideales principales es de factorizacion unica, veamos la vuelta. Cualquier ideal I de R divide a un ideal principal que a su vez se escribe como producto de ideales primos y principales (se tiene que <r> es primo si y solo si r lo es). Pero entonces, debido a la factorizacion unica a nivel ideales, I es producto de ideales primos y principales de donde I es un ideal principal. \ddag

Consideremos ahora un cuerpo de numeros K (ie: una extension finita de \mathbb{Q}) y denotemos por {\cal O}_K los enteros algebraicos de K. No es dificil ver que {\cal O}_K es un anillo de Dedekind;  llamemos Cl_K a su grupo de clases.

A mi siempre me llamo la atencion que en principio uno estudia {\mathbb Z}[{-1+{\sqrt 5}\over 2}] y no {\mathbb Z}[{\sqrt 5}]. El problema con el segundo anillo es que no es Dedekind ya que no es integramente cerrado. En principio uno podria tomar muchos subanillos de K pero si lo que buscamos es poder decir algo entonces una eleccion natural es considerar el anillo de enteros algebraicos que queda Dedekind. Sin embargo puede ocurrir que algun subanillo de {\cal_O}_K tenga factorizacion unica.

Claro que lo anterior es quizas un poco facilista (a veces solo hacemos lo que “podemos” y no lo que “tenemos” que hacer). No esta mal sentirse contento con lo que sabemos acerca del anillo de enteros pero seria sumamente interesante decir algo acerca de cualquier anillo de numeros algebraicos (por ejemplo {\mathbb Z}[\alpha] para cualquier \alpha algebraico)(*).

En el caso del anillo de enteros {\cal O}_K de un cuerpo de numeros K, es sorprendente que el grupo de clases Cl_K es finito (o sea que en principio {\cal O}_k no estaba tan lejos de ser un dominio de ideales pricipales ni de tener factorizacion unica). Esto es falso en el caso general de un anillo de Dedekind cualquiera, de hecho cualquier grupo abeliano es el grupo de clases de algun anillo de Dedekind.

Volviendo a la idea de Kummer de pensar al anillo dentro de uno mas grande, para todo cuerpo de numeros K existe una extension finita L (que es la maxima extension abeliana no ramificada) tal que {\cal O}_K\subset {\cal O}_L y {\cal O}_L sí es un dominio de factorizacion unica. Mas aun, vale que Cl_K=Gal(L/K).

(*) El amigo Kronecker no estaba muy de acuerdo en que la clase de anillos natural para estudiar la nocion de divisibilidad sean los  de Dedekind. Por ejemplo K[x,y] es un anillo que tiene factorizacion unica pero no es Dedekind (el ideal <x^2,y> no se factoriza como producto de primos). Kronecker propuso estudiar la divisibilidad en base a las valuaciones y demas, idea sumamente fructifera.(**)

(**)Claro que dificilmente exista “la clase mas natural”,  es una buena regla general que cuando hay dos ideas contrapuestas lo mejor es aprovechar la tension entre ambas y no volcarse por una olvidando completamente la otra.

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