Regla y Reflejometro

noviembre 30, 2008

Un reflejometro es un instrumento que realiza la siguiente construccion: Dados tres puntos X, Y, Z el reflejometro marca el punto Z' simetrico de Z respecto de la recta XY.

Problema 1) Dado un triangulo ABC, explicar como se puede construir su circuncentro usando solamente regla y reflejometro.

Problema 2) ¿Es posible construir el Incentro del ABC usando solamente regla y reflejometro?

Solucion Problema 1)

Es facil ver que con regla y reflejometro se pueden hacer las siguientes cosas:

  1. Dada una recta QR y un punto P fuera de ella, trazar la perpendicular a QR por P. Basta usar el reflejometro para marcar P' el simetrico de P respecto de QR y luego unir P y P' con la regla.
  2. Dado un punto P y una recta QR trazar la paralela a QR por P. Primero trazamos una recta \cal{L} que no pase por P y sea perpendicular a QR y luego trazamos la perpendicular a \cal{L} por P.
  3. Dado un segmento PQ marcar su punto medio. Primero tomamos un punto cualquier R que no este en la recta PQ y luego trazamos las paralelas a PR y QR por P y Q respectivamente que se cortan en S. Como PRQS es un paralelogramo, entonces sus diagonales se cortan en sus puntos medios. Basta entonces trazar la recta RS y marcar su interseccion con PQ.

reflejometro

Con las construcciones auxiliares anteriores es facil resolver el problema. Lo primero que hacemos es marcar los puntos medios M_A, M_B, M_C de BC, AC, AB respectivamente (que podemos hacerlo por el item 3). Luego trazamos la perpendicular a M_BM_C por M_A no es otra cosa que la mediatriz del segmento BC (que podemos hacerlo por el item 1). Es decir que usando regla y reflejometro podemos trazar las mediatrices de AB, AC, BC que como es sabido se cortan en el circuncentro de ABC. \ddag

Solucion al Problema 2)

La respuesta es que no!! La demostracion se basa en el siguiente lema

Lema

  1. Sean dados cuatro puntos X=(x_1,x_2), Y=(y_1,y_2), Z=(z_1,z_2), Z'=(z_1',z_2') con Z y Z' simetricos respectos de la recta XY. Si los puntos X, Y, Z tienen todos coordenadas racionales (es decir si x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2 \in \mathbb{Q}) entonces Z' tambien (ie: z_1',z_2'\in \mathbb{Q}).
  2. Sean dados cuatro puntos A, B, C, D con coordenadas racionales, entonces la interseccion E de AC con BD tambien tiene coordenadas racionales.

Pospongamos la demostracion del lema para mas tarde y veamos como usarlo para demostrar que no es posible construir el incentro usando regla y el reflejometro.

Supongamos que existe tal construccion y lleguemos a un absurdo. Una construccion no es otra cosa que una lista del estilo: unamos estos puntos, usemos el reflejometro para marcar el simetrico de este respecto de estos dos, trazemos la recta que une este y este, marquemos la interseccion de estas dos rectas, volvamos a usar el reflejometro con estos tres puntos, etc…

La clave esta en que si empezamos con tres puntos con coordenadas racionales luego por el lema todos los puntos que constuyamos seguiran teniendo coordenadas racionales. Pero entonces no es posible construir el incentro I del triangulo A, B, C cuando A=(0,0), B=(1,0), C=(0,1) pues este tiene coordenadas irracionales (I=({2-\sqrt 2\over 2},{2-\sqrt 2\over 2})). Absurdo!!! Que viene de suponer que existia tal construccion.

El argumento anterior tiene una pequeña trampa, es cierto que si tenemos solo puntos de coordenadas racionales solo podemos construir puntos con coordenadas racionales marcando intersecciones o usando el reflejometro pero ¿que pasa si tomamos un punto al azar? Por ejemplo, en el item 3 de la construccion para el primero problema el punto R se podia tomar al azar. La dificultad no es grave, basta notar que si existe tal construccion entonces podemos reemplazar en cada lugar que diga “tomemos un punto al azar” por “tomemos un punto al azar con coordenadas racionales” y la construccion tiene que seguir funcionando.

Hemos probado entonces que no es posible con regla y reflejometro construir el incentro de un triangulo dado. \ddag.

Demostracion del Lema:

Para el primer punto, notemos que tenemos dos condiciones: ZZ' es perpendicular a XY y el punto medio de ZZ' esta en la recta XY. Estas condiciones se traducen en:

(x_1-y_1)(z_1-z_1')+(x_2-y_2)(z_2-z_2') = 0

(x_1-y_1)({z_2+z'_2\over 2}-y_2)=(x_2-y_2)({z_1+z'_1\over 2}-y_1)

Si x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2 estan fijos y son racionales entonces esto sera un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas (z_1' y z_2') y coeficientes racionales cuya unica solucion debe ser racional, como queriamos!

La demostracion del segundo caso es analoga, basicamente la idea es que como A y C tienen coordenadas racionales entonces la ecuacion de la recta que pasa por A y C debe tener coeficientes racionales lo que nos da una ecuacion a coeficientes racionales (para e_1 y e_2). De forma analoga tenemos otra ecuacion con coeficientes racionales usando que E esta en la recta BD. Luego (e_1,e_2) es la unica (*) solucion de un sistema de dos ecuaciones y dos incognitas con coeficientes racionales entonces debe ser racional!!!(**) \ddag.

(*) Esto se puede observar geometricamente.

(**) A esto es lo que llamo, “hacer las cuentas sin hacer las cuentas”.

Problema para pensar: ¿Es posible construir un cuadrado ABCD usando solamente regla y reflejometro?

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