Triangulando un segmento

noviembre 21, 2008

Se tiene un segmento y se lo parte en tres pedazos, ¿Cual es la probabilidad de que con ellos se pueda formar un triangulo?

Supongamos que el segmento media 2 y que los tres pedazos miden a, b y c respectivamente. Luego, ellos seran lados de un triangulo si y solo si

c\leq a+b
a\leq b+c
b\leq c+a

Pero por ejemplo, c\leq a+b si y solo si 2c\leq a+b+c=2, es decir si y solo si c\leq 1. Es decir que a,b,c seran lados de un triangulo si y solo si 0\leq a,b,c\leq 1 (recordar que siempre es a+b+c=2).

Para calcular la probabilidad deseada vamos a mirar el problema desde otra perspectiva. Tomemos un triangulo equilatero ABC de altura 2 y sea P un punto a distancia a del lado BC, b del lado AC y c del lado AB (ver nota). A cada forma de partir el segmento original en tres pedazos le corresponde un punto del triangulo y a cada punto del triangulo le corresponde una forma de partir el segmento. Podemos entonces reinterpretar el problema de la siguiente manera:

probabilidadtriangulo
¿Cual es la probabilidad de que si tomamos un punto al azar dentro del ABC este esté a distancia \leq 1 de cada lado?

Sean A', B', C' los puntos medios de los lados BC, AC, AB respectivamente. El punto P estara a distancia \leq 1 del lado BC si se encuentra por debajo de la recta B'C', luego el punto P estara a distancia \leq 1 de cada lado si esta dentro del triangulo A'B'C'.

Como los cuatro triangulos tienen la misma area (de hecho son iguales), si tomamos un punto al azar dentro del ABC la probabilidad de que este dentro del triangulo sombreado es 1\over 4. Es decir que si partimos un segmento arbitrario en tres pedazos, la probabilidad de que con ellos se pueda formar un triangulo es 1\over 4. \ddag

Si la demostracion anterior les parecio muy poco formal aca va otra;

Sean X_1,X_2 variables aleatorias con X_1,X_2 \sim U[0,2] y pongamos Y_1=min (X_1,X_2) y Y_2=max (X_1,X_2). Por el mismo argumento que antes, lo que queremos calcular es P=P(0\leq Y_1,Y_2-Y_1,2-Y_2 \leq 1). Luego:

P=P(0\leq X_1,X_2-X_1,2-X_2 \leq 1)+P(0\leq X_2,X_1-X_2,2-X_1 \leq 1)

Es facil ahora calcular las probabilidades anteriores ya que (X_1,X_2) tiene distribucion uniforme en el cuadrado (0,0),(2,0),(2,2),(0,2) de forma que basta calcular el area de las regiones deseadas.

La primer probabilidad corresponde a la region encerrada dentro del triangulo (0,1),(1,1),(1,2) que tiene area ={1\over 2} y la segunda probabilidad corresponde a la region encerrada dentro del triangulo (1,0),(1,1),(2,1) que tambien tiene area ={1\over 2}. Como el cuadrado tiene area =4 entonces la probabilidad deseada es {1\over 4}.

Nota: Dado un punto P dentro del ABC a distancia a, b, c de BC, AC, AB respectivamente; como el area del triangulo ABC es la suma de las areas de los tres triangulos BCP,ACP,ABP entonces:

{BC \times a\over 2}+{AC \times b\over 2}+{AB\times c\over 2} = {AB \times 2 \over 2}

AB\times {a+b+c\over 2} = AB

a+b+c = 2

Es decir que para todo punto P dentro del triangulo equilatero ABC, la suma de las distancias de P a los tres lados se mantiene constantemente =2.

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