Borel-Cantelli

octubre 13, 2008

Lema de Borel-Cantelli:

Sea \{A_n\} una sucesion de eventos, luego

  1. Si \sum P(A_n) < \infty entonces P(A^{\infty})=0.
  2. Si \sum P(A_n) = \infty y los A_n son eventos independientes entonces P(A^{\infty})=1.

Nota: A^{\infty}=\bigcap_{n=0}^{\infty} \bigcup_{k\geq n} A_k.

Demostracion:

Pongamos B_n=\bigcup_{k\geq n} A_k

  1. P(A^{\infty})= \lim P(B_n) \leq \lim \sum_{k\geq n} P(A_k) = 0.
  2. Alcanza ver que P(B_n)=1 o lo que es lo mismo, P(B_n^c)=0. Pero como los A_n son independientes entonces tambien lo son A_n^c

P(B_n^c)=P(\bigcap_{k\geq n} A_n^c)=\prod_{k\geq n} P(A_n^c)=\prod_{k\geq n} (1-P(A_n))=0

Que es cierto ya que \sum P(A_n)= \infty. \ddag

Dicho de otra forma, dada una familia de eventos tales que la sume de sus probabilidades converge entonces la probabilidad de que ocurran infinitos de ellos es nula. Si en cambio su suma diverge y ademas ellos son independientes entonces la probabilidad de que ocurran infinitos de ellos es 1.

La condicion de que los eventos sean independientes se puede hacer mas debil, por ejemplo se puede pedir que sean independientes de a dos. De hecho, Erdos y Renyi probaron que alcanza que P(A_n\cap A_m)\leq P(A_n)P(A_m) para cada m,n con m\neq n.

Es interesante que, al menos en el caso en que los eventos son independientes, la probabilidad de que ocurran infinitos eventos sera 0\ o\ 1. Esto es una manifestacion de la “Ley Cero-Uno de Kolmogorov” que dice que si tenemos una sucesion de variables aleatorias independientes X_1,X_2,...,X_n,... la probabilidad de que ciertos eventos ocurran será 0\ o\ 1. Los “ciertos eventos” son aquellos que dependen de los valores de las X_1,...,X_n,... pero son independientes de cualquier subconjunto finito de ellas. Por ejemplo, A=\{w:\sum X_n(w)< \infty\} es un tal evento.

Algunos ejemplos:

1) Tomemos al azar cualquier numero del intervalo(0,1). ¿Cual es la probabilidad de que contenga infinitos 7 en su expresion decimal?

Sea A_n el evento, “su n-esimo digito es 7“. Luego P(A_n)={1\over 10} y la suma de las probabilidades de los A_n diverge. Como los A_n son claramente independientes entonces podemos concluir que P(A^{\infty})=1, pero estos son justamente los numeros con infinitos digitos 7 en su expresion decimal. Hemos probado entonces que si tomamos un numero al azar del intervalo (0,1) entonces con probabilidad 1 este contiene infinitos digitos 7.

Se puede ir mas lejos todavia y probar que con probabilidad 1, el 7 aparecera con frecuencia 1\over 10 en su expresion decimal (esto tambien se puede deducir de la ley de los grandes numeros). De forma mas general, digamos que un numero es normal respecto a una secuencia a_1a_2...a_n de digitos si esta aparece con frecuencia 1\over 10^n en la expresion decimal de nuestro numero. Borel probo que casi todos los numeros son normales con respecto a todos la secuencias finitas de digitos. Es decir que si tomamos un numero al azar, con probabilidad 1 cualquier secuencia de digitos aprece con la frecuencia esperada.

Problema: Probar que 0,123456789101112... es normal.

2) Si se tiene una familia de medibles E_j de un compacto K\subset \mathbb{R}^n tales que \sum \mu(E_j) =\infty entonces se puede trasladar a cada E_j de forma que casi todo punto de \mathbb{R}^n este en infinitos de ellos.

3) Consideremos una particula moviendose al azar por los puntos de coordenadas enteras del plano. En cada segundo, la particula se mueve con probabilidad 1\over 4 a cada uno de sus 4 vecinos. Sea A_n el evento, la particula volvio al origen en 2n pasos. Luego P(A_n)={1\over 4^{2n}} {2n\choose n}^2, como la suma diverge entonces quisieramos concluir que volvera al origen infinitas veces con probabilidad 1, pero los A_n no son independientes!

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