Mezclando cartas o funciones anticontinuas

septiembre 14, 2008

Si tenemos un mazo con 5 cartas, las podemos mezclar de modo que dos cartas que eran vecinas dejen de serlo. Por ejemplo si numeramos las cartas 1,2,3,4,5 las podemos reordenar de la siguiente forma: 3,5,2,4,1.

Es facil ver que lo mismo vale para un mazo con n cartas para n\geq 4. Si ahora tenemos una cantidad numerable de cartas ordenadas como los numeros enteros tambien podemos reordenarlas de la siguiente forma:

...,-3,3,-1,1,2,0,-2,4,-4,6,-6,...

¿Que pasa si tenemos un continuo de cartas?

Supongamos que queremos mezclar a los numeros reales; ¿Como interpretar que numeros vecinos dejen de serlo? Ahora ya no tenemos “vecinos” asi que vamos a tener que pedir algo ligeramente distinto. Lo que buscamos es mezclar los numeros de forma que para toda numero x haya un intervalo que lo contenga y un intervalo alrededor de donde quede despues de reordenar las cartas de forma que ninguna carta del primer intervalo quede en el segundo luego de mezclarlas (salvo el x).

La pregunta seria entonces:

¿Existe una biyeccion f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} tal que para todo x\in \mathbb{R} existan \gamma_x,\epsilon_x >0 tales que para todo y\in \mathbb{R} tal que 0<|y-x|<\gamma_x se tiene que |f(y)-f(x)|>\epsilon_x?

Por la semejanza con la defincion de funcion continua vamos a decir que una funcion con esa propiedad (no necesariamente biyectiva) es “anticontinua”. ¡Probemos que no existen funciones anticontinuas!

Demostracion: Supongamos que sí y vamos por el absurdo. Sea f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} una tal funcion y pongamos

G=\{(x,f(x))\in \mathbb{R}^2:x\in\mathbb{R}\}\subset \mathbb{R}^2

Dicho de otra forma, G es el grafico de la funcion f. Ahora vamos a interpretar geometricamente la condicion de anticontinuidad. Definamos para cada x\in \mathbb{R} el siguiente subconjunto del plano

A_x=(x-\gamma_x,x+\gamma_x)\times(f(x)-\epsilon_x,f(x)+\epsilon_x)

Es facil ver que la anticontinuidad es equivalente a A_x\cap G = \{(x,f(x))\}. Pongamos por ultimo

B_x=(x-{\gamma_x\over 2},x+{\gamma_x\over 2})\times(f(x)-{\epsilon_x\over 2},f(x)+{\epsilon_x\over 2})

Luego para cualesquiera x,y\in \mathbb{R} se tiene que B_x\cap B_y=\emptyset. Pero entonces tenemos una cantidad no numerable de cuadrados abiertos B_x, cosa que no es posible ya que \mathbb{R}^2 es separable. (*) \ddag

(*) Dicho de otra forma, tomemos un punto con ambas coordenadas racionales por cada B_x. Como estos son disjuntos entonces los puntos que elijamos deben ser todos distintos, pero hay numerables puntos con ambas coordenadas racionales!!

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