Subgrupos vacios, Subgrupos llenos

junio 16, 2008

1) Cualquier subgrupo S\subset \mathbb{R} es discreto o denso en \mathbb{R}.

Demostracion:

-Si r=inf\{s\in S:s>0\}>0 entonces no hay dos elementos de S a distancia <r de donde S es discreto.

-Si r=inf\{s\in S:s>0\}=0 entonces para todo \epsilon>0 existe s\in S con 0<s<\epsilon de donde \{ns:n\in \mathbb{Z}\} es una \epsilon-red.

Hemos demostrado entonces que todo subgrupo de \mathbb{R} es discreto o denso. \ddag

2) Cualquier subgrupo S\subset \mathbb{R} tiene medida cero o medida exterior maxima en cada subintervalo.

Demostracion:

Podemos suponer que S es denso en \mathbb{R}, pues en caso contrario seria discreto entonces numerable de donde tendria medida cero.

Si s\in S entonces S=S+s de donde

|S\cap [a,b]|_e=|S\cap [a+s,b+s]|_e

Por la continuidad de la medida y por ser S denso en \mathbb{R} podemos concluir que para todo r\in\mathbb{R} se tiene que:

|S\cap [a,b]|_e=|S\cap [a+r,b+r]|_e

Pongamos entonces f(x)=|S\cap [0,x]|_e y se tiene que para todo a,b\in \mathbb{R}:

|S\cap [a,b]|_e=f(b-a)

Luego f es aditiva y monotona creciente de donde f es lineal. Es decir que existe una constante k\in \mathbb{R} tal que f(x)=kx o dicho de otra forma, para todos a,b\in \mathbb{R} se tiene que

|S\cap [a,b]|_e=k(b-a)

Pero entonces (*) k=0 o k=1 lo que prueba el enunciado. \ddag

(*) Si A\subset \mathbb{R} con |A|_e>0 entonces para todo \epsilon <1 existen a,b\in \mathbb{R} tales que |A\cap [a,b]|_e>\epsilon(b-a).

Comentario: Si consideremos \mathbb{R} como \mathbb{Q}-espacio vectorial entonces tenemos un subespacio S tal que \mathbb{R}=S\oplus \mathbb{Q}. El subespacio S es un subgrupo de \mathbb{R} que por lo anterior tendra medida exterior maxima en cada subintervalo. Hemos construido entonces un Vitali de medida exterior maxima en cualquier subintervalo!

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