Sobre lo Local y lo Global- Parte 1(Lema de Vitali)

junio 16, 2008

El teorema de diferenciacion de Lebesgue dice que:

Si f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} es una funcion integrable Lebesgue entonces para casi todo x\in \mathbb{R}^n se tiene que:

f(x) = \lim_{B\rightarrow x} \int_Bf(y)dy

Donde B es una bola centrada en x y B\rightarrow x significa diam\ B\rightarrow 0.

Pretendo expresar porque este me parece un teorema “dificil” y porque el lema de Vitali es la clave en su demostracion.

Comencemos por otro lado y consideremos las siguientes afirmaciones sobre una funcion f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}:

  1. La funcion f es continua en x=0.
  2. La funcion f es continua en todo punto.
  3. La funcion f es continua en casi todo punto.

La primera de ellas es una afirmacion local acerca del comportamiento de f. La segunda, si bien afirma algo para todo punto, sigue siendo de caracter local, para probarla alcanza tomar un punto y concentrarnos cerca de él.

En resumen, la primera afirmacion es local y la segunda es, a lo sumo, una afirmacion local sobre cada punto. La tercera de ellas, si bien quiere parecer local, es esencialmente distinta a las otras dos y eso debido a que es “global”.

Ya no podemos usar el argumento de concentrarnos en un punto y probar la propiedad, simplemente porque eso puede resultar falso! El hecho de que la propiedad valga para CASI todo punto la hace mucho mas complicada.

Cuando yo por primera vez queria probar el teorema de diferenciacion de Lebesgue comenzaba de la siguiente manera: tomaba un punto y trataba de demostrar que el limite en cuestion valia concentrandome cerca del punto elegido. ¡Claro que nunca iba a lograrlo! Porque de esa forma estaria probando que la igualdad vale para todo punto, lo que es falso!. El inocente “para casi todo punto” es lo que lo vuelve un enunciado mucho mas dificil. Ya no podemos simplemente probarlo “localmente”…. es necesario un argumento mas…algo que conecte lo local y lo global.

En principio uno dice, “Pero si no me concentro en un punto…..¿que queda por hacer?”…. en realidad no esta tan mal hacer eso, pero precisamos alguna forma de recolectar esa informacion y pegarla toda.

Quien viene en nuestra ayuda es el lema de Vitali, él es quien en cierta forma establece un puente entre “lo local” y “lo global”. La estrategia de la demostracion es hacer varias observaciones locales y conectarlas todas via el lema de Vitali para obtener algo “global”.

Aqui reside la dificultad del teorema de diferenciacion de Lebesgue, es un enunciado global disfrazado de local y es por eso que requiere de algun argumento/idea/observacion que “conecte” estos dos extremos.

Otra manifestacion de lo anterior es en los teoremas de Carleson acerca de la convergencia de las series o transformada de Fourier. Por ejemplo, para toda funcion continua su serie de fourier converge en casi todo punto al valor esperado. Si el enunciado fuese “…converge en TODO punto…” seria mucho mas sencillo (*), es este “en casi todo punto” el que la da una dificultad extra.

Y es este el rol de el lema de Vitali, los lemas de cubrimiento o descomposiciones astutas (por ejemplo la de una variedad diferenciable para probar la dualidad de Poincare), son construcciones que nos permiten conectar lo local y lo global.

(*)Pues en general, lo local es facil.

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