Cuadrilateros Completos

junio 8, 2008

1) Probar que en un cuadrilatero no trapecio ABCD, con E=AB\cap CD y F=AD\cap BC, los puntos medios de AC,BD,EF estan alineados.
2) Probar que el circunentro del triangulo formado por las lineas AC,BD,EF y los ortocentros de ADE y CDF estan alineados.
3) Los dos rectas de los dos puntos anteriores son perpendiculares.

Nota: Dos circunferencias S_1, S_2 de centros O_1 y O_2 y radios R_1 y R_2 son ortogonales si la potencia de O_1 con respecto a S_2 es R_1^2. Es facil verificar que si S_1 y S_2 son ortogonales entonces S_2 y S_1 tambien lo son.

Plan demostracion + Otras Cosas

1) Las circunferencias de diametros AC, BD, EF son coaxiales (es decir que hay dos puntos que cada uno pertence a las tres circunferencias) (de yapa los centros estan alineados, es decir que los puntos medios de AC, BD, EF estan alineados).

2) Los ortocentros de los triangulos ABF, CDF, BCE , ADE estan alineados. Y la recta que determinan es el eje radical de las tres circunferencias coaxiales.

3) La recta que pasa por los cuatro ortocentros es perpendicular a la que pasa por los tres puntos medios (esto es consecuencia de 2) y 3)).

4) La circunferencia \cal{C} por las intersecciones de las lineas AC,BD,EF es ortogonal a las circunferencias de diametro AC, BD, EF.

Una vez hecho esto, el problema ya esta pues el centro de \cal{C} tiene misma potencia con respecto a cada una de las tres circunferencia coaxiales, digamos r^2 donde r es el radio de \cal{C}. Luego el centro de \cal{C} pasa por el eje radical de las tres circunferencias que es la linea que determinan los cuatro ortocentros.

Asi que tenemos que ver 1), 2) y 4).

Veamos 1) y 2)…. para ello sea H el ortocentro de ABF y sean A',B', F' los pies de las respectivas alturas. Queremos ver que H tiene la misma potencia con respecto a las circunferencias de diametro AC, BD, FE.

a) B' esta en la de diametro BD luego la potencia de H con respecto a esa circunferencia es BH\times HB'.
b) A' esta en la de diametro AC luego la potencia de H con respecto a esa circunferencia es AH\times HA'.
c) F' esta en la de diametro EF luego la potencia de H con respecto a esa circunferencia es FH\times HF'.

Pero es conocido que BH\times HB'=AH\times HA'=FH\times HF' asi que H tiene la misma potencia con respecto a las tres circunferencia y de forma analoga cada ortocentro tiene la misma potencia con respecto a las tres de donde:

2) Los cuatro ortocentros estan alineados y forman el “eje radical” de las tres circunferencias.
1) Como las tres circunferencias tienen un “eje radical” luego deben ser coaxiales.

Solo resta ver 4). Para eso, si G=AC\cap BD, H=BD\cap FE y M es el punto medio de BD nos alcanza con ver que MG\cap MH=MB^2 (o sea la potencia de M con respecto a \cal{C} es MB^2 que es el radio de la de diametro BD).

Y aca perdonenme pero no quiero hacer muchas cuentas asi que digo asi, \{DB, GH\} son conjugados harmonicos pues las lineas FD, FG, FB, FH los son, luego la propiedad esa se sigue de hacer la cuentita. (O sea para cualesquiera D,G,B,H en ese orden tales que {{DG\times BH}\over {BG\times DH}}=1 se cumple que si M es punto medio de BD entonces MG\times MH=MB^2).

Fin

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