Liouville via Krein-Milman

junio 7, 2008

Decimos que una funcion f:{\mathbb{R}^2}\rightarrow {\mathbb{R}} es armonica si para todo x\in {\mathbb{R}^2}

f(x)=\int _{\mathbb{D}}f(x+y)dy

Nota: \mathbb{D}=\{x\in {\mathbb{R}^2}: ||x||\leq 1\}

Teorema (Liouville): Si f es armonica y acotada entonces es constante.

Demostracion:

Sea K=\{f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^2):||f||_{\infty}\leq 1,\ f armonica\}. Nuestro objetivo sera ver que todas las funciones de K son constantes.

En primer lugar notemos que K es w^*-cerrado (*) pues si f_n\stackrel{w^*}{\rightarrow} f con f_n\in K y g\in L^1(\mathbb{R}^2)

f_n(x)=\int_{\mathbb{D}}f_n(x+y)dy

\int f_n(x)g(x)dx=\int\int_{\mathbb{D}}f_n(x+y)g(x)dydx

\int f_n(x)g(x)dx=\int_{\mathbb{D}}\int f_n(x+y)g(x)dxdy

Como f_{\alpha}\stackrel{w^*}{\rightarrow} f entonces puedo reemplazar las f_n por f (notar que en el termino de la derecha podemos hacer esto por convergencia mayorada gracias a que las f_n estan acotadas). Hemos probado entonces que para todo g\in L^1(\mathbb{R}^2) se tiene que

\int f(x)g(x)dx=\int_{\mathbb{D}}\int f(x+y)g(x)dxdy

\int f(x)g(x)dx= \int \int_{\mathbb{D}} f(x+y)g(x)dydx

Es decir, f(x)=\int_{\mathbb{D}}f(x+y)dy y f resulta armonica. Luego K resulta w^*-cerrado y como es acotado, por Banach-Alaoglu, podemos decir que K es w^*-compacto y convexo.

Veamos que si f es un punto extremal de K entonces f es constante.

Si f\in K es extremal, entonces (por la version geometrica de Hahn-Banach) existe \phi:L^{\infty}(\mathbb{R}^2)\rightarrow  \mathbb{R}, w^*-continuo, tal que \phi(f')\geq 0 para toda f'\in K con igualdad si y solo si f'=f.

Pero los funcionales lineales w^*-continuos son de la forma \phi(f')=\int f'(x)g(x)dx con g\in L^1(\mathbb{R}^2). Luego tenemos que existe g\in L^1(\mathbb{R}^2) tal que \int f'(x)g(x)dx \geq 0 para todo f'(x)\in K. Pero…

\int f(x)g(x)dx=\int \int _{\mathbb{D}}f(x+y)g(x)dydx

0=\int _{\mathbb{D}} (\int f(x+y)g(x)dx)dy\geq 0

Pero lo que esta entre parentesis en el segundo termino es siempre positivo por la eleccion de g, pues f'(x)=f(x+y)\in K. Luego, como la integral se anula, debe ser siempre =0 o dicho de otra forma f(x+y)=f'(x)=f(x) para todo y\in {\mathbb{D}}. De donde se deduce facil que f tiene que ser constante.

Hemos probado entonces que si f\in K es extremal de K entonces f es constante. Pero por Krein-Milman, K={\overline{co}}(Ext\ K), entonces todas las funciones de K deben ser constantes, como queriamos. \ddag

(*) Como L^1(\mathbb{R}^2) es separable entonces la topologia w^* en B=\{f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^2):||f||_{\infty}\leq 1\} es metrizable y me alcanza tomar sucesiones.

Comentario: mas que por el resultado, la demostracion tiene valor como muestra de la versatilidad de Krein-Milman!

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