Funciones Armonicas Discretas

junio 7, 2008

Problema: Si tenemos un numero real entre 0,1 en cada punto con coordenadas enteras del plano de forma que cada numero sea el promedio de sus cuatro vecinos entonces todos los numeros son iguales.

Pongamos un poco de notacion:

Una funcion f\in L^{\infty}(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}) se dice armonica si se tiene que para todos m,n vale que

f(m,n)={1\over 4}((f(m+1,n)+f(m-1,n)+f(m,n+1)+f(m,n-1))

Sean S,T: L^{\infty}(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}) \rightarrow  L^{\infty}(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}) los shift hacia la derecha y hacia arriba respectivamente.

Notar que f\in L^{\infty}(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}) sera armonica si y solo si:

f={1\over 4} (S(f)+S^{-1}(f)+T(f)+T^{-1}(f))

Solucion:

Alcanza ver que si f es armonica con ||f||_{\infty}\leq1 entonces f es constante. Sea A el subconjunto de funciones armonicas de L^{\infty}(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}), como A es un subespacio w^*-cerrado entonces K=B_0(1)\cap A es w^*-compacto y convexo.

Veamos que si f\in K es un punto extremal de K entonces f es constante. Luego, como los puntos de K son limites de combinaciones convexas de sus puntos extremales (Krein-Milman), entonces toda funcion armonica sera limite de combinaciones convexas de funciones constantes, es decir que sera constante. ¡Como queriamos!

Si f\in K entonces S(f),S^{-1}(f),T(f),T^{-1}(f) \in K trivialmente, luego como f es armonica:

f={1\over 4} (S(f)+S^{-1}(f)+T(f)+T^{-1}(f))

Lo anterior implica que si f es un punto extremal de K entonces f=S(f)=T(f) de donde f es constante. \ddag

Nota 1: La demostracion se puede reescribir con menos lenguaje, L^{\infty}(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}) no es otra cosa que las funciones acotadas de \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} y la w^*-compacidad se deduce de que la topologia que le dimos a este conjunto es la de la convergencia puntual. En este contexto habria que recurrir a una version un poco mas general de Krein-Milman (todo punto de un convexo compacto es limite de combinaciones convexas de algunos de sus puntos extremales).

Nota 2: Mas importante aun es notar que el problema vale si solo pedimos que los numeros esten acotados por debajo, es decir por ejemplo si solo pedimos que sean positivos. En este caso la demostracion no sirve porque no podemos garantizar la compacidad, es necesario otro argumento.

2 Responses to “Funciones Armonicas Discretas”

  1. Julian Says:

    Hola Carlos. Muy interesante el post. Pregunta: Si reemplazo el laplaciano por una version discreta del p-laplaciano (|u’|^{p-2}u’)’ = 0), sigue valiendo el resultado?

    Saludos
    Julian

  2. luca Says:

    Hola, estoy realizando un trabajo sobre el teorema de Krein-Milman y voy a citar ésta como una de las aplicaciones. ¿Podría decirme su nombre para poder citarlo adecuadamente en el trabajo?
    Muchas gracias🙂


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