Curva de Medibles

junio 7, 2008

Supongamos que tenemos un espacio de medida finita (E,\sigma,\mu) y definamos una relacion de equivalencia entre los medibles por A\sim B si \mu(A\Delta B)=0. Podemos entonces darle al conjunto {\cal{M}} de clases de equivalencias estructura de espacio metrico definiendo la siguiente distancia: d(A,B)=\mu(A\Delta B).

Luego, si la medida \mu es no-atomica, ({\cal {M}},d) resulta un espacio metrico arco-conexo!!!!

Lema 1: Si \mu es no-atomica y A\subset C con\mu(A)=a, \mu(C)=c, entonces para todo bcon a<b<c existe B con A\subset  B\subset C y \mu(B)=b.

Demostracion:

Sea {\cal{B}}=\{B\in\sigma:\mu(B)\leq b, A \subset B\subset C\} y definamos el siguiente orden

B_1\leq B_2 \leftrightarrow B_1\subset B_2\cup N, \mu(N)=0

Si \{B_{\alpha}\} es una cadena con s=sup\ \mu(B_{\alpha})\leq b entonces existe \{B_n\} una subcadena con \lim \mu(B_n)=s. Luego B_{\alpha} \leq \bigcup(B_n) para todo \alpha, hemos probado entonces que toda cadena tiene una cota superior y podemos concluir por Zorn, que existe B\in {\cal{B}} maximal.

Falta probar que \mu(B)=b, en caso contrario, sea B_1\subset C\backslash B con \mu(B_1)\leq b- \mu(B) (esto se puede gracias a que la \mu es no-atomica) lo que es absurdo ya que en ese caso B< B\cup B_1. \ddag

Lema 2: Si \mu es no-atomica y \mu(A)=a>0 entonces podemos construir para cada t\in [0,1] un conjunto A_t tal que A_t\subset A_s si s\leq t y \mu(A_t)=ta.

Demostracion:

Pongamos A_0=\emptyset,A_1=A, por el lema anterior, tenemos que existe A_{1\over 2}\subset A_1 con \mu(A_{1\over 2})={1\over 2}a. De la misma forma podemos construir A_{1\over 4}, A_{3\over 4} con A_0\subset A_{1\over 4}\subset A_{1\over 2}\subset A_{3 \over 4}\subset A_1, \mu(A_{1\over 4})={1\over 4}a y \mu(A_{3\over 4})={3\over 4}a.

Analogamente, podemos construir A_0\subset A_{1\over 2^n}\subset...\subset A_{k\over 2^n}\subset...\subset A_1 tales que para todo k, 0\leq k\leq 2^nse tiene \mu(A_{k\over 2^n})={k\over 2^n}a.

Definamos por ultimo A_t=\bigcup_{{k\over 2^n}\leq t}A_{k\over 2^n} y estos verifican lo pedido. \ddag

Es facil terminar ahora la demostracion, alcanza ver que para todo A\in {\cal {M}} existe f:[0,1]\rightarrow {\cal {M}} continua con f(0)=\emptyset, f(1)=A. Pero esta funcion no es otra cosa que f(t)=A_t que por la construccion de los A_t se tiene que d(f(t),f(s))=\mu (A_t\Delta A_s)=\mu(A_t)-\mu(A_s)=(t-s)a de donde f es continua.

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