Acerca de como cortar la torta

junio 7, 2008

Dada una torta y n personas, cada una de ellas con una medida (*) sobre la torta es posible repartirla de forma que cada persona considere que recibio al menos {1\over n} de la torta (respecto de su medida). Mas aun, si entre las n medidas hay al menos dos distintas entonces se puede conseguir que todos crean recibir mas que {1\over n}.

(*) Aca entenderemos por “medida” una medida de probabilidad no atomica (una medida \mu se dice no-atomica si para todo A con \mu(A)>0 se puede partir A en A_1,A_2 de forma que \mu(A_1),\mu(A_2) >0). Ademas vamos a suponer que la torta es un compacto de \mathbb{R}^3 y que las medidas son borelianas.

Para probar la existencia de la division anterior vamos a usar la siguiente proposicion a la que llamaremos teorema

Teorema: Dadas \mu_1,...,\mu_n medidas no-atomicas sobre un espacio de medida (E,\sigma), si definimos

P=\{(\mu_1(E_1),\mu_2(E_2),...,\mu_n(E_n)):\bigcup E_i=E, E_i\cap E_j=\emptyset\}\subset \mathbb{R}^n

Luego P es compacto y convexo.

Demostracion:

Sea \mu=\mu_1+...+\mu_n y pongamos:

K=\{(g_1,...,g_n)\in L^{\infty}(\mu)\times\ldots\times L^{\infty}(\mu):0\leq g_i\leq 1, \sum g_i=1\}

Como K es w^*-cerrado, convexo y acotado entonces es w^*-compacto y convexo. Definamos ahora T:L^{\infty}(\mu)\times\ldots\times L^{\infty}(\mu)\rightarrow \mathbb{R}^n tal que

T(g_1,...,g_n)= (\int g_1d\mu_1,...,\int g_nd\mu_n)

Por Radon-Nikodym tenemos que d\mu_i=h_id\mu con h_i\in L^1(\mu), de donde T queda w^*-continua y T(K)\subset \mathbb{R}^n es compacto y convexo. Veamos que P=T(K) con lo que P resulta compacto y convexo como queriamos.

Es facil ver que P\subset T(K) pues si E_1,...,E_n es una particion de E entonces (\mu_1(E_1),...,\mu_n(E_n))=(\int \chi_{E_1}d\mu_1,...,\int \chi_{E_n}d\mu_n).

Para ver que T(K)\subset P definamos

K_p=\{(g_1,...,g_n)\in K:T(g_1,...,g_n)=p\}

Como K_p es un cerrado convexo de K entonces es w^*-compacto y convexo. Por Krein-Milman existe (g_1,...,g_n) punto extremal de K_p, veamos que (g_1,...,g_n)=(\chi_{E_1},...,\chi_{E_n}) con E_1,...,E_n particion de E.

En caso contrario, existe C con \mu(C)> 0 y r\leq g_i,g_j\leq 1-r en C. Como \mu(B)>0 y \mu es no-atomica entonces existe g' tal que g'\chi_C=g', \int g'd\mu_i=\int g'd\mu_j=0 y -r\leq g'\leq r de donde

(g_1,...,g_n)\pm (0,...,g',...,-g',...)\in K_p

¡Absurdo! Pues dijimos que (g_1,...,g_n) era extremal! \ddag

El teorema anterior hace todo el trabajo, si E es la torta, \sigma los borelianos y \mu_1,...,\mu_n las medidas de cada una de las personas entonces P son los posibles resultados de dividir la torta y repartir (donde la i-esima coordenada es la medida de la porcion que recibio la i-esima persona respecto de su medida).

Si consideramos las n divisiones triviales (es decir: “todo para la i-esima persona y nada para el resto”) entonces se tiene que (1,0,...,0,0),(0,1,...,0,0),...,(0,0,...,0,1)\in P, de donde como P es convexo entonces (1/n,...,1/n)\in P. Es decir que existe una particion de E, digamos E_1,...,E_n tal que \mu_i(E_i)={1\over n} para todo i, lo que demuestra la primera parte.

La segunda parte es mas facil de pensar o dibujar que escribir. Definamos H=\{(x_1,...,x_n):x_1+...+x_n=1\} y de forma analoga sean H^+,H^- cambiando el = por \geq,\leq respectivamente. Luego como (1,0,..,0),...,(0,...,1)\in P entonces H\cap [0,1]^n \subset P\subset [0,1]^n. Lo que queremos probar es que P\cap ({1\over n},1]^n\neq \emptyset.

En caso contrario se tendria que P\subset H^- ya que P es convexo. Esto quiere decir que para toda particion E_1,...,E_n de E se tiene que \mu_1(E_1)+...+\mu_n(E_n)\leq 1, pero entonces siempre debe valer la igualdad pues si interpretamos los indices modulo n entonces para todo j

\mu_1(E_{1+j})+...+\mu_n(E_{n+j})\leq 1

Sumando las desigualdades anteriores para j=1,2,...,n llegamos a

\sum \mu_1(E_{1+j})+...+\sum \mu_n(E_{n+j})\leq n

Pero la anterior es una igualdad, de donde todas las desigualdades anteriores son en realidad igualdades. Luego para toda particion E_1,...,E_n de E se tiene que

\mu_1(E_1)+...+\mu_n(E_n)= 1

Pero entonces \mu_1=\mu_2=...=\mu_n lo que contradice que habia al menos dos medidas distintas de donde P\cap ({1\over n},1]^n\neq \emptyset como queriamos.

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