Receta para hacer Matematica-Parte 1

junio 1, 2008

1) Elija su objeto matematico preferido X.

2) Calcule X\rightarrow \mathbb{R}\backslash f cumpla algo\} y dele estructura a eleccion.

Preguntas:

  • ¿Que se puede decir de X a partir de X^*?
  • ¿Vale que X^*=Y^* implica X=Y?
  • ¿Como recuperar X a partir de X^*?

3) Repita el paso 2 con X^* para obtener X^{**}

Observacion: Se tiene que X\hookrightarrow X^{**} naturalmente (”las evaluaciones”), mas precisamente si x\in X entonces tenemos X^*\rightarrow \mathbb{R}, donde \widehat{x}(x^*)=x^*(x).

  • ¿Es cierto que X=X^{**}? ¿Que significa la igualdad?
  • ¿Como identificar X si nos dan X^{**}?

Sugerencia: Si le va a dar a A\rightarrow \mathbb{R}\backslash f cumpla algo\} (ya sea A=X o A=X^*) una topologia dele la de la convergencia puntual (es decir f_n\rightarrow f si f_n(a)\rightarrow f(a) para todo a en A) que es la mas debil que hace de las f\in A^* continuas.

Variaciones: Pruebe reemplazar \mathbb{R} por \mathbb{C} o \mathbb{T} (el grupo de los complejos de modulo 1).

Ejemplos:

1) Conjuntos

Si X es un conjunto entonces X\rightarrow \mathbb{R}\} es un espacio vectorial de dimension el cardinal de X. Luego X^*=Y^* implica X=Y (donde el igual debe interpretarse como que hay una biyeccion entre ambos conjuntos).

2) Algebra Lineal

Si X es un \mathbb{R}-espacio vectorial entonces X\rightarrow \mathbb{R}\backslash\ f lineal\} es el “dual”. Se tiene que X=X^{**} si y solo si X es de dimension finita.

Por otro lado, si dim\ X no es finita,

dim\ X^*=\mathbb{R}^{\ dim X}=2^{\ dim X}

Luego “X^*=Y^* implica X=Y” es equivalente a la siguiente pregunta para cardinales x,y,

¿2^x=2^y implica x=y?

3) Analisis Funcional I

Si X es un espacio de Banach, definimos X^* y X^{**} como su dual y su doble dual respectivamente. Entonces X se dice “reflexivo” cuando X=X^{**}. Los espacios reflexivos son “buenos” en algun sentido, por ejemplo todos los funcionales alcanzan su norma o los subespacios cerrados realizan distancias (de hecho, tales propiedades caracterizan a los reflexivos gracias al Teorema de James).

Si X^* es reflexivo (separable) entonces X es reflexivo (separable).

Es mentira que X^*=Y^* implique X=Y (por ejemplo, c y c_0 no son isometricos pero sus duales sí). ¿Valdra que si X^*=Y^* entonces X es homeomorfo a Y?

4) Topologia

Si X es un espacio topologico, X\rightarrow \mathbb{R}\backslash f continua y acotada\} es un anillo conmutativo. Si a X^*\rightarrow \mathbb{R}\backslash f morfismo de anillo\} le damos la topologia de la convergencia puntual entonces X^{**} queda un espacio topologico.

Si X es completamente regular entonces X\hookrightarrow X^{**} es un homeomorfismo con su imagen y X^{**} es compacto con la propiedad de que toda funcion continua y acotada de X\rightarrow \mathbb{R} se extiende de forma unica a X^{**} (es decir que X^{**} no es otra cosa que la compactifiacion de Stone-Cech de X).

Teorema de Gelfand-Kolmogorov: Si X es un espacio topologico hausdorff compacto entonces X=X^{**}.

Notar el contenido “filosofico” del teorema anterior, empezamos con un objeto topologico y lo cambiamos por uno totalemente algebraico sin perder informacion!!!! La construccion al reves (al menos en este formato) no funciona, es decir si empezamos con un anillo conmutativo podemos no voler al mismo. Sin embargo, existe otro espacio topologico asociado al anillo que sí es capaz de guardar toda su informacion algebraica.

5) \mathbb{C}^*-Algebras

Si X es un algebra de Banach conmutativa entonces podemos poner X\rightarrow \mathbb{C}\backslash f morfismo de \mathbb{C}-algebra\} con la topologia de la convergencia puntual. El espacio topologico X^* queda compacto, luego X^*\rightarrow \mathbb{C}\backslash f continua\} con la norma ||\ ||_{\infty} es un algebra de Banach.

Si se tenia que X=C(K) con K compacto entonces X^*=K. Se sigue de esto, que los ideales maximales de C(K) son los \{f\in C(K)\backslash\ f(x)=0\}.

La aplicacion X\hookrightarrow X^{**} es la transformada de Gelfand, esta es un morfismo de algebras de Banach continuo de norma 1 (no necesariamente inyectivo).

Teorema: Si X es una \mathbb{C}^*-Algebra con unidad entonces X\hookrightarrow X^{**} es una isometria sobreyectiva. En particular toda \mathbb{C}^*-Algebra con unidad se realiza como el algebra de funciones continuas sobre un espacio topologico hausdorff compacto.

Si la \mathbb{C}^*-algebra no tiene unidad entonces para que valga el teorema, el doble dual X^{**} tiene que consistir de las funciones continuas X^*\rightarrow \mathbb{C} nulas en el infinito.

6) Analisis Funcional II

Si X es un espacio topologico hausdorff entonces consideremos el espacio de Banach X\rightarrow \mathbb{R}\backslash f continua y acotada\} con la norma ||\ ||_{\infty}.

Si X es completamente regular, entonces X es un espacio metrico compacto si y solo si X^* es separable.

Teorema de Banach-Stone: Si X,Y son hausdorff compactos entonces X^*=Y^* si y solo si X=Y (donde la primera igualdad debe entenderse como una isometria entre espacios de Banach y la segunda un homeomorfismo entre espacios topologicos).

La demostracion del teorema anterior consiste en “seguir el plan”, esto es…. sabemos que X\hookrightarrow X^{**} ¿Como identificar X dentro de X^{**}? Resulta que X es “basicamente” los puntos extremales de la bola unitaria de X^{**}.

7) Geometria Algebraica

Si X es una variedad algebraica afin, es decir que existen polinomios f_1,...,f_k tales que X=\{x\in \mathbb{C}^n\backslash f_1(x)=f_2(x)=...=f_k(x)=0\} entonces podemos definir X\rightarrow \mathbb{C}\backslash f es un polinomio\}. Como X^* es un anillo, luego sea X^*\rightarrow \mathbb{C}\backslash f morfismo de anillo\}.

Teorema de los Ceros de Hilbert: Se tiene que X=X^{**}

Notar otra vez el contenido “filosofico” del teorema que relaciona un objeto geometrico, la variedad X\subset \mathbb{C}^n, con uno algebraico, el anillo X^* (de ahi el nombre de “Geometria Algebraica”).

Se puede ver que toda Y^*\rightarrow X^* es de la forma g=f^*, de donde Hom(X,Y)=Hom(Y^*,X^*).

8 ) Analisis Funcional III

Sea X un espacio vectorial localmente convexo, y pongamos X\rightarrow \mathbb{R}\backslash\ f lineal y continua\} con la topologia de la convergencia puntual. Por ultimo, sea X^*\rightarrow \mathbb{R}\backslash\ f lineal y continua\} con la topologia de la convergencia puntual.

Teorema: Si X es localmente convexo entonces X\hookrightarrow X^{**} es una biyeccion.

Luego X\hookrightarrow X^{**} es continua y biyectiva pero no es un homeomorfismo. De hecho la topologia de X pensado como X^{**} es la topologia debil.

Si X es un espacio normado, entonces X^* tambien es un espacio de Banach con la norma usual, luego B_{X^*} (la bola unitaria de X^*) es compacta en la topologia de la convergencia puntual (Teorema de Banach-Alaoglu).

9) Grupos topologicos

Si X es un grupo abeliano localmente compacto entonces podemos poner X\rightarrow \mathbb{T}\backslash\ f morfismo de grupo y continuo\} con la topologia de la convergencia uniforme sobre compactos.

Se puede ver que X^* resulta un grupo abeliano localmente compacto. De hecho, X es compacto (discreto) si y solo si X^* es discreto (compacto).

Repitiendo la construccion de X^* a partir de X pero empezando con X^* obtenemos X^{**}.

Teorema: Se tiene que X\hookrightarrow X^{**} es un homeomorfismo.

Si a X^* le damos la topologia discreta y a X^{**} la topologia compacto abierta entonces X^{**} es un grupo topologico compacto que es la compactificacion de Bohr de X.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: