Espacios Metricos Universales

abril 21, 2008

Sea \delta(a,b)=1 si a\neq b y \delta (a,b)=0 si a=b. Esto define una distancia en \mathbb{N} (la “discreta”).

Si al conjunto \mathbb{N}^{\infty} de suceciones de enteros positivos le ponemos la siguiente distancia,

d(x,y)=\sum {\delta(x_n,y_n)\over 2^n}

Entonces (\mathbb{N}^{\infty},d) resulta un espacio metrico completo y separable.

Por otro lado, 2^{\infty} con la misma distancia es un espacio metrico homeomorfo al Cantor, de donde (2^{\infty},d) es compacto.

Veamos que en algun sentido, son los espacios metricos mas grandes con tales propiedades.

1) Sea (M,d) un espacio metrico completo y separable. Probar que existe f:\mathbb{N}^{\infty}\rightarrow M continua, abierta y sobreyectiva.

2) Sea (M,d) un espacio metrico compacto. Probar entonces que existe f:2^{\infty}\rightarrow M continua, abierta y sobreyectiva.

Demostracion:

1) Como (M,d) es separable, lo podemos cubrir por una sucesion de bolas B_1,B_2,...,B_n,.. de radio 1. A su vez, a cada bola B_i la podemos cubrir por una sucesion de bolas B_{i1},B_{i2},...,B_{in},... de radio <1/2. De la misma forma podemos ir dividieno a cada bola en numerables bolas cada vez mas chicas.

Para cada sucesion n_1,n_2,...,n_k,... de enteros positivos se tiene que existe un unico x en M tal que

x=\bigcap_{k=1}^{\infty} B_{n_1n_2...n_k}

Pues la sucesion de bolas es una sucesion de cerrados encajados de diametro tendiendo a cero en un completo (hace falta tomar las bolas con un poco de cuidado, pero es facil elegirlas una vez que sabemos que es lo que queremos).

Definamos entonces f:{\mathbb{N}^{\infty}}\rightarrow  M por

f((n_1,n_2,...,n_k,...))=\bigcap_{k=1}^{\infty} B_{n_1n_2...n_k}

Si dos puntos coinciden en las primeras k coordenadas entonces sus imagenes estan contenidas en una bola de la forma B_{n_1n_2...n_k} de radio <1/k. De donde f es uniformemente continua y en particular continua.

Por la misma razon, f resulta abierta ya que el conjunto de los puntos de \mathbb{N}^{\infty} con las primeras k coordenadas dadas es una bola cuya imagen es de la forma B_{n_1n_2...n_k} (ademas las bolas como la anterior generan la topologia de \mathbb{N}^{\infty} ).

Para ver que f es sobreyectiva, notemos que para todo x en M se tiene que x esta en algun B_{n_1} ya que los B_n cubrian todo M. Analogamente, como B_{n_1}=\bigcup B_{n_1n}, entonces x esta en algun B_{n_1n_2} y asi vamos construyendo (n_1,n_2,...,n_k,...) tal que f((n_1,n_2,...,n_k,..))=x. \ddag

2) La demostracion es analoga a la anterior, la unica diferencia es que como 2^{\infty} es compacto, en cada paso podemos tomar finitas bolas. Por otro lado, quizas 2 bolas no alcanzan para cubrir M pero sí 2^k para algun k (si usamos de mas no importa). Entonces usamos las primeras k coordenadas para decidir la primer bola, otras tantas para decidir la segunda y asi… \ddag

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