Los verdaderos medibles

abril 13, 2008

Lo que sigue no pretende ir a ningun lado, es solo una pregunta y algunos pensamientos al respecto. Es mas bien la historia de como fue evolucionando cierta sensacion (de que entre los medibles habia algunos colados).

Sea V un subconjunto no medible de \mathbb{R} y pensemoslo como un subconjunto de \mathbb{R}^2. Como V esta contenido en la recta y esta tiene medida nula entonces V resulta medible en \mathbb{R}^2. ¿Merece este conjunto ser llamado “medible”?

¿Queremos que un mismo conjunto no sea medible en \mathbb{R} pero sí en \mathbb {R}^2? ¿El ser medible es una propiedad intrinseca del conjunto o depende de su “ambiente”? ¿Son todos los medibles “verdaderamente medibles”?

Cuando construimos la medida de Lebesgue en \mathbb{R}^n definimos los medibles como los E\subset \mathbb{R}^n tales que para todo \epsilon>0 existe un abierto G\subset \mathbb{R}^n tal que |G-E|_e<\epsilon. Si E es tal que |E|_e entonces E resulta automaticamente medible. ¿No sera mucho que todo subconjunto de alguien de medida nula sea medible? ¿No estamos metiendo en la misma bolsa demasiadas cosas?

Pensemos en la siguiente pregunta, ¿cual es el cardinal de los medibles de \mathbb{R}? Si C\subset\mathbb{R} es el conjunto de Cantor entonces para todo S\subset C, S es medible ya que |C|=0. Tenemos entonces al menos 2^c medibles y como \mathbb{R} tiene la misma cantidad de subconjuntos entonces “El cardinal de los medibles es 2^c“. Pero…. ¿no fue trampa usar todos los subconjuntos del Cantor? ¿Es cualquier subconjunto de Cantor tan medible como el Cantor?

En principio es razonable hacer la vista gorda con estos conjuntos de medida nula ya que en cierto sentido (en el de la medida) son “despreciables” (vamos a llamar a los medibles no borelianos de medida nula “conjuntos despreciables”). Pero queramos o no, en algun lado pagamos el precio de esta actitud, por ejemplo

Si M\subset \mathbb{R}^2 es medible entonces M_x=\{y\in \mathbb{R}/(x,y)\in M\} es medible para casi todo x\in \mathbb{R}.

Cuando seria mucho mas lindo tener un resultado del estilo

Si M\subset \mathbb{R}^2 es medible entonces M_x=\{y\in \mathbb{R}/(x,y)\in M\} es medible para TODO x\in \mathbb{R}.

Es cierto que vale la pena pagar ese precio y que como todos sabemos “es razonable que tales conjuntos sean medibles”, pero eso no quita que “el para casi todo” ademas de ser coherente con la filosofia (medida nula = nada) es sintoma de algo. Si nos restringimos solamente a los Borelianos, podemos evitar el “para casi todo” pues “las secciones de un Boreliano son borelianas”. ¿No seran entonces los Borelianos los “verdaderamente medibles”?

Es facil ver que si E\subset \mathbb{R} es medible entonces E=H\cup Z donde H es un F_{\sigma} y |Z|=0. Podemos decir entonces que los medibles son borelianos salvo por un conjunto de medida nula. Todo esto nos lleva a creer que despues de todo, salvo los Borelianos, el resto de los medibles lo son por los “conjuntos despreciables”. ¿Habra otra razon para que estos conjuntos “despreciables” sean medibles?

Volviendo al ejemplo original, si V es un subconjunto no medible de \mathbb{R} pensado como subconjunto de \mathbb{R}^2 entonces V es un “despreciable”. La razon es clara, el conjunto mide cero en \mathbb{R}^2 porque tiene dimension menor. Es razonable decir entonces que V es medible para la medida de Lebesgue de \mathbb{R}^2 pero no lo es para la de \mathbb{R}, y esto es parte del problema: cuando decimos medible entendemos medible para la medida de Lebesgue correspondiente, pero a veces no interesa solamente su estructura 2-dimensional sino tambien la 1-dimensional (como cuando usamos Fubini).

Para el caso de los subconjuntos del Cantor el problema es el mismo, el Cantor (y por ende todos sus subconjuntos) tiene dimension {\log\ 2\over \log\ 3}<1. Es de esperar entonces (ver aca) que existan subconjuntos del Cantor no medibles para las medidas de Hausdorff d-dimensionales con d\leq{\log\ 2\over \log\ 3}.

Podemos entonces aventurarnos a decir que un conjunto S es “verdaderamente medible” si para todo d, tenemos que S es medible para la medida de Hausdorff d-dimensional. (Mas precisamente, dado un espacio topologico X y una medida Boreliana \mu, decimos que S\subset X es \mu-medible si existen Borelianos B_1,B_2 con B_1\subset S\subset B_2 y \mu(B_2\backslash B_1)=0)

¿Sera cierto que si S\subset \mathbb{R} es medible para toda medida de Hausdorff d-dimensional entonces S es Boreliano? De ser cierto, daria fuerza a la afirmacion de que “los Borelianos son los verdaderamente medibles”, pero no solo resulta falso sino que ocurre algo mucho mas interesante e inesperado.

Vamos a decir que un espacio topologico P es Polaco si P es homeomorfo a un espacio metrico completo y separable. Por ejemplo, \mathbb{R}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} y el Cantor son Polacos. Un subconjunto A de un Polaco Q se dice Analitico si existe un Polaco P y f:P\rightarrow Q continua tal que A=f(P). Se puede ver que todo Boreliano es analitico pero no todo Analitico es boreliano.

Teorema: Sea A un subconjunto Analitico de un Polaco P, entonces para toda medida boreliana \sigma-finita \mu, se tiene que A es \mu-medible.

Como \mathbb{R} es Polaco, podemos decir entonces que cualquier Analitico es “universalmente medible”. Los subconjuntos U de un Polaco P tales que para todo medida boreliana \sigma-finita \mu resultan \mu-medibles son los “Universalmente Medibles”.

¿Seran los Analiticos todos los “Universalmente medibles”? Noooo! (pues el complemento de un Analitico no boreliano ni siquiera es analitico). Se puede probar que cualquier conjunto “Proyectivo” es “Universalmente medible”. ¿Será la \sigma-algebra generada por los Proyectivos todos?

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