Clases Monotonas

abril 9, 2008

Dado un conjunto X y una familia \cal{F} de subconjuntos de X decimos que:

  1. \cal{F} es un “Algebra” si para todos F_1,F_2 en \cal{F} se tiene que F_1\cup F_2 y F_1^c estan en \cal{F}.
  2. \cal{F} es una “\sigma-Algebra” si para todos F_1,F_2,...,F_n , \ldots en \cal{F} se tiene que \bigcup F_i y F_1^c estan en \cal{F}.
  3. \cal{F} es una “Clase Monotona” si para todos F_1,F_2,...,F_n,.. en \cal{F} tales que F_i\subset F_{i+1} (F_{i+1}\subset F_i) para todo i se tiene que \bigcup F_i (\bigcap F_i) esta en \cal{F}.

Ademas vamos a denotar por \cal{M(F)} a la menor Clase Monotona que contiene a \cal{F} y por \sigma(\cal{F}) a la menor \sigma-Algebra que contiene a \cal{F}.

Teorema: Si \cal{A} es un algebra entonces \cal{M(A)}=\sigma(\cal{A}).

Demostracion:

Sea \cal{M}=\cal{M(A)} y para cada M definamos:

{\cal M}_M=\{N\in {\cal M}/M\cup N\in {\cal M}\}

Veamos que {\cal M}_M es una Clase Monotona, si N_1,N_2,\ldots,N_k,\ldots\in {\cal M}_M con N_k\subset N_{k+1} para todo k, luego

M\cup \bigcup N_k=\bigcup (M\cup N_k) \in {\cal M}

Pues por hipotesis M\cup N_1, M\cup N_2, \ldots, M\cup N_k, \ldots \in \cal{M} y M\cup N_k\subset M\cup N_{k+1} (¡recordar que \cal{M} es Clase Monotona!).

El caso de intersecciones decrecientes es analogo, de donde para todo M se tiene que {\cal M}_M es una Clase Monotona.

  • Si A\in {\cal A} luego {\cal A}\subset {\cal M}_A trivialmente, de donde {\cal M}_A es una clase monotona que contiene a {\cal A}. Entonces, por defincion de {\cal M} tenemos que {\cal M}\subset {\cal M}_A\subset {\cal M}, es decir que {\cal M}={\cal M}_A. O dicho de otra forma, para todo A en {\cal A} y N\in {\cal M} se tiene que A\cup N\in {\cal M}.
  • De lo anterior, {\cal A}\subset {\cal M}_M para todo M\in {\cal M} y por el mismo argumento que antes, {\cal M}={\cal M}_M. Es decir que para todos M,N\in {\cal M} tenemos que M\cup N\in {\cal M}.
  • Si definimos {\cal M}^c=\{M/M^c\in {\cal M}\} entonces {\cal M}^c es una Clase Monotona que contiene a {\cal A}. Luego {\cal M}\subset {\cal M}^c, de donde {\cal M}={\cal M}^c.
  • Por lo anterior, {\cal M} es cerrada por uniones y por complementos de donde {\cal M} es un Algebra. De hecho, {\cal M} es una \sigma-Algebra pues si M_1,\ldots,M_k,\ldots \in {\cal M} entonces \bigcup  M_k=\bigcup M'_k \in  {\cal M} donde M'_k= \bigcup _{i=1}^kM_i.
  • Como {\cal M} es una \sigma-Algebra que contiene a {\cal A}, \sigma({\cal A})\subset {\cal M}, pero \sigma({\cal A}) es una Clase Monotona de donde {\cal M}\subset \sigma ({\cal A}). En conclusion, {\cal M(A)}=\sigma({\cal A}).

Como queriamos demostrar. \ddag

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