Medidas de Banach

abril 6, 2008

La paradoja de Banach-Tarski dice que es posible cortar a una esfera en cinco pedazos y con ellos armar dos esferas iguales a la original. Lo primero por lo que uno piensa que esto deberia ser falso es que no podemos “duplicar el volumen”. El problema con este argumento es que formalizar lo que entendemos por “volumen” no es tan facil como parece, resulta que si bien podemos calcular el volumen de la esfera, no podemos calcular el de los pedazos, ya que estos tienen una estructura demasiada complicada como para asignarles un volumen.

Mas precisamente, la paradoja muestra que no existe ninguna medida \mu que a cada subconjunto A de \mathbb{R}^3 le asocie un numero real no negativo \mu (A) tal que

  • Si A y B son disjuntos entonces \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B).
  • Si A y B son iguales entonces \mu(A)=\mu(B).

Nota: Decimos que A y B subconjuntos de \mathbb{R}^n son “iguales” si existe un movimiento rigido T de \mathbb{R}^n (traslacion + rotacion + reflexion) tal que B=T(A).

Todo esto es muy conocido y no es de lo que quiero hablar (y mucho menos del uso del axioma de eleccion que usualmente se roba todo el protagonismo de la paradoja). A pesar que no existe tal \mu para los subconjuntos de \mathbb{R}^3, sí existe para \mathbb{R} o \mathbb{R}^2; estas son las “Medidas de Banach” (ie: medidas positivas finitamente aditivas e invariantes por movimientos rigidos). Veamos entonces como construir tal medida y tratemos de contestar la siguiente pregunta,

¿Porque \mathbb{R} y \mathbb{R}^2 admiten Medidas de Banach y en el otro extremo \mathbb{R}^3 admite paradojas como Banach-Tarski?

En primer lugar recordemos la dualidad “Medida/Integral”, dada una medida \mu podemos integrar a cada funcion respecto a esta medida, reciprocamente, si no conocemos \mu pero sabemos cuanto vale \int f d\mu para cada f podemos recuperar \mu ya que si \chi_A es la funcion caracteristica de A luego

\mu(A)=\int   \chi_A d\mu

Resulta entonces que si queremos construir una medida que haga de todos los conjuntos medibles, todas las funciones deben resultar integrables. Sea entonces E el espacio vectorial de funciones reales x:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, acotadas y nulas fuera de algun intervalo finito. Para cada a\in \mathbb{R} sea \sigma_a:x(t)\mapsto x(t+a) y G=\{\sigma_a:a\in \mathbb{R}\} es evidentemente un grupo abeliano de transformaciones lineales de E. Pongamos L\subset E el subespacio de las funciones medibles Lebesgue de E y para cada y\in L sea

g(y)=\int y(t)\ dt

Entonces g lo podemos pensar como un funcional lineal de L. Ademas g y L son G-invariantes pues si y\in L entonces \sigma_a(y)=y(t+a)\in L y g(\sigma_ay)=g(y). Ahora, la integral superior de Lebesgue está definida para cualquier funcion x\in E, medible o no. Pongamos entonces:

P(x)= \overline{\int} x(t)dt

Luego P resulta sublineal, G-invariante y g(x)\leq P(x) para toda x\in L. Por la version G-invariante de Hahn-Banach podemos extender g, que solo esta definida sobre L, a f, definida sobre todo E. Tenemos entonces

Teorema: A toda funcion acotada y nula fuera de un intervalo x(t) se le puede asociar una integral f(x)=\int x(t)dt tal que sea lineal, invariante por traslaciones, esta entre la integral inferior y superior de Lebesgue y es positiva si x(t)\geq 0 para todo t\in \mathbb{R}.

Si consideramos A\subset \mathbb{R} podemos poner \mu(A)=f(\chi_A), luego \mu es una medida positiva, finitamente aditiva, invariante por traslaciones y esta entre la medida interior y la medida exterior de Lebesgue. Hemos demostrado entonces que

Teorema: Existe una medida positiva \mu para los subconjuntos de \mathbb{R} tal que:

  • Si A=A_1\cup...\cup A_n entonces \mu(A)=\mu(A_1)+...+\mu(A_n).
  • Si A=B entonces \mu(A)=\mu(B).
  • Si A es medible Lebesgue entonces \mu(A)=|A|
  • Para tod A vale que |A|_i\leq \mu(A)\leq |A|_e.

La misma construccion funciona para \mathbb{R}^2 ya que su grupo de movimientos rigidos es resoluble. Podemos entonces responer la pregunta acerca de porque \mathbb{R} y \mathbb{R}^2 admiten medidas finitamente aditivas invariantes por movimientos rigidos y en el otro extremo \mathbb{R}^3 admite paradojas como Banach-Tarski, la razon es que la estructura del grupo de movimientos rigidos de \mathbb{R}^3 es mucho mas complicada y rica. De hecho el grupo de movimientos rigidos de \mathbb{R}^3 no es resoluble ya que tiene como subgrupo al grupo libre (no abeliano) en dos generadores, que justamente es lo que ayuda a construir descomposiciones paradojicas como la de Banach-Tarski!!!

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