Hahn-Banach G-Invariante

abril 6, 2008

Sea E un espacio vectorial real, P:E\rightarrow \mathbb{R} una funcion sublineal, L un subespacio de E y g:L\rightarrow \mathbb{R} lineal tal que g(y)\leq P(y). Supongamos ademas que tenemos un grupo resoluble G de transformaciones lineales de E tal que L,P,g son G-invariantes. Luego existe f:E\rightarrow \mathbb{R} lineal, G-invariante, tal que f(y)=g(y) para todo y en Ly f(x)\leq P(x) para todo x en E.

Demostracion:

En primer lugar notemos que si x\in E, \sigma \in G luego f(x)=f(\sigma x) si y solo si f((1-\sigma)x)=0. Es decir que f es G-invariante si y solo si f(w)=0 para todo w en H=<(1-\sigma)x:\sigma \in G, x\in E>.

El plan es primero extender el funcional g al subespacio S=L+H y luego usar Hahn-Banach para extenderlo a todo E. Notemos que de existir, la extension a S es unica ya que como queremos que f sea G-invariante debe ser f(x)=0 para todo x \in H. La dificultad estara en ver que si extendemos el funcional g al subespacio S haciendo que valga cero en H entonces sigue estando mayorado por P. Para ello precisamos el siguiente lema cuya demostracion damos al final de todo:

Lema: Para todo y\in L y todo w\in H se tiene que g(y)\leq P(y+w)

Si y esta en L\cap H, luego g(y)\leq P(y-y)=P(0)=0, pero analogamente g(-y)\leq 0 de donde g(y)=0. Estamos ahora en condiciones de extender g a S=L+H, de forma que siga estando mayorado por P, basta poner g(y+w)=g(y).

En efecto, la defincion es buena ya que si y_1+w_1=y_2+w_2 luego g(y_1-y_2)=0 ya que y_1-y_2=w_2-w_1 esta en L\cap H, es decir g(y_1)=g(y_2). Ademas g(y+w)=g(y)\leq P(y+w) por el lema.

Tenemos entonces un funcional lineal g del subespacio S de E mayorado por la funcion sublineal P. Podemos entonces, por Hahn-Banach, extender g a un funcional lineal f de E de forma que siga estando mayorado por P. Este f es el que buscabamos, pues solo falta verificar que f es G-invariante, pero por defincion de la primer extension de g, f(w)=g(w)=0 para todo w en el subespacio H (que por lo dicho antes implica que f es G-invariante). \ddag

Lema 1: Si y\in E y w=(1-\sigma)y donde \sigma \in G, luego para todo \epsilon >0 y n suficientemente grande (dependiendo de y,w,\epsilon) se tiene que

{1\over n+1} P((1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)y)-\epsilon \leq P(y+w)

Demostracion: Sea y\in E, w=(1-\sigma)x y \epsilon >0, entonces

{1\over n+1}(P(y+w)+P(\sigma (y+w))+...+P(\sigma^n(y+w)))=P(y+w)
{1\over n+1}P((1+\sigma+...+\sigma^n)y+(1+\sigma+...+\sigma^n)w)\leq P(y+w)
{1\over n+1}P((1+\sigma+...+\sigma^n)y+x-\sigma^{n+1}x)\leq P(y+w)
{1\over n+1}P((1+\sigma+...+\sigma^n)y)-{1\over n+1} P(-x+\sigma^{n+1}x)\leq P(y+w)
{1\over n+1}P((1+\sigma+...+\sigma^n)y)-{1\over n+1} (P(-x)+P(x))\leq P(y+w)

Luego como P(-x)+P(x) no depende de n, para n suficientemente grande {1\over n+1} (P(-x)+P(x))\leq \epsilon.

De donde, para n suficientemente grande

{1\over n+1}P((1+\sigma+\sigma^2+...+\sigma^n)y)-\epsilon\leq P(y+w)

Que es lo que queriamos. \ddag

Lema 2: Si G es abeliano, entonces para todo y\in L y todo w\in H se tiene que g(y)\leq P(y+w)

Demostracion: Sea w=w_1+w_2+...+w_m con w_k=(1-\sigma_k)x_k (es facil ver que todo elemento de H es de esta forma) y probemos el lema por induccion en m.

Caso m=1, por el lema anterior, como w=(1-\sigma_1)x_1 se tiene que para todo \epsilon>0 y n suficientemente grande

{1\over n+1}P((1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)y)-\epsilon\leq P(y+w)

Pero como y\in L y L es G-invariante entonces (1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)y\in L. De donde

{1\over n+1}g((1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)y)-\epsilon\leq P(y+w)
{1\over n+1}(g(y)+g(\sigma_1 y)+...+g(\sigma_1^n y))-\epsilon\leq P(y+w)

Y como g es G-invariante entonces g(y)=g(\sigma_1y)=...=g(\sigma_1^ny), de donde

g(y)-\epsilon\leq P(y+w)

Como lo anterior se puede hacer para todo \epsilon >0 deducimos que

g(y)\leq P(y+w)

Paso inductivo, supongamos que vale para m y veamoslo para m+1,

P(y+w_1+w_2+...+w_{m+1})=P(y+w)

Por el lema anterior aplicado a y=y+w_2+...+w_{m+1} y w=w_1 se tiene que para todo \epsilon >0 y n suficientemente grande

{1\over n+1}P((1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)(y+w_2+...+w_{m+1}))-\epsilon\leq P(y+w)
{1\over n+1}P((1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)y+\widetilde{w}_2+...+\widetilde{w}_{m+1})-\epsilon\leq P(y+w)

Donde (¡aca usamos que G es abeliano!)

\widetilde{w}_k=(1-\sigma_k)(1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)x_k=(1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)(1-\sigma_k)x_k

Luego por la hipotesis inductiva aplicada a y=(1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)y y w=\widetilde{w}_2+...+\widetilde{w}_{m+1} se tiene que:

{1\over n+1}g((1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)y)-\epsilon \leq P(y+w)
{1\over n+1}(g(y)+g(\sigma_1y)+...+g(\sigma_1^ny))-\epsilon \leq P(y+w)
g(y)-\epsilon \leq P(y+w)

Como lo anterior vale para todo \epsilon >0 entonces conluimos que para todo y\in L y todo w\in H se tiene que

g(y) \leq P(y+w)

Como se queria demostrar. \ddag

Ahora tratemos de demostrar el lema 2 en el caso G resoluble. La idea es hacerle caso al principio “lo que vale para un grupo abeliano, vale en uno resoluble por induccion”. Dado un grupo G de transformaciones lineales de E y un subespacio M G-invariante, decimos que G es M-abeliano si para todo \sigma_1,\sigma_2 en G y x en E se tiene que (\sigma_1\sigma_2-\sigma_2\sigma_1) x\in M. No es dificil ver que el lema anterior vale en el caso en que G sea L-abeliano.

Lema 3: Si G es L-abeliano entonces para todo y\in L y todo w\in H se tiene que g(y)\leq P(y+w).

Demostracion: La idea es hacer lo mismo que en el caso abeliano, la unica diferencia es que

(1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)(y+w_2+...+w_{m+1})=(1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)y+h_2+...+h_{m+1}+\widetilde{w}_2+...+\widetilde{w}_{m+1}

Donde los \widetilde{w}_k se defininen analogamente pero como G no es abeliano debemos agregar un ”error” h_k,

h_k=(1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)(1-\sigma_k)x_k-(1-\sigma_k)(1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)x_k

Como h_k\in S por ser G un grupo L-abeliano, entonces podemos aplicar la hipotesis inductiva a y=(1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)y+h_2+...+h_{m+1}\in S y w=\widetilde{w}_2+...+\widetilde{w}_{m+1} de donde

{1\over n+1}g((1+\sigma_1+...+\sigma_1^n)y+h_2+...+h_{m+1})-\epsilon \leq P(y+w)
{1\over n+1}(g(y)+g(\sigma_1y)+...+g(\sigma_1^ny)+g(h_2+...+h_{m+1}))-\epsilon\leq P(y+w)
g(y)-\epsilon \leq P(y+w)

Como lo anterior vale para todo \epsilon >0 entonces conluimos que para todo y\in L y todo w\in H se tiene que

g(y)\leq P(y+w)

Como se queria demostrar. \ddag

El resto de la demostracion consiste en, si G_0<G_1<...<G_n=G es una cadena de subgrupos con cocientes abelianos, definir para cada k el subespacio H_k=<(1-\sigma)x:x\in E, \sigma \in G_k> y S_k=L+H_k. La clave esta en usar que como {G_{k+1}\over G_k} es abeliano, entonces S_k es G_{k+1}-abeliano. Como G_0 es abeliano, entonces podemos extender g a S_0 y va a seguir estando mayorada, luego como S_0 es G_1-abeliano entonces la podemos extender a S_1 y asi…

One Response to “Hahn-Banach G-Invariante”


  1. […] resulta sublineal, G-invariante y para toda . Por la version G-invariante de Hahn-Banachi podemos extender , que solo esta definida sobre , a , definida sobre todo . Tenemos […]


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