Cortar Poligonos

abril 6, 2008

1) ¿Que poligonos convexos se pueden dividir en paralelogramos?

2) Es conocido que a todo poligono se lo puede cortar en varios poligonos y con ellos armar cualquier otro poligono con la misma area que el original. ¿Es posible hacer esto solo trasladando los pedazos?

Dado un poligono P y una recta L (con una direccion) vamos a definir L(P) como la siguente cantidad: recorremos el perimetro de P en forma antihoraria y empezamos con L(P)= 0, cada vez que caminamos por un lado de P no paralelo a L no sumamos nada, cuando caminamos por un lado de P paralelo a L, si lo hacemos en la direccion de L sumamos la longitud del lado y si lo hacemos en direccion opuesta restamos su longitud. Una vez que volvamos al lugar donde partimos el resultado es L(P).

Dicho de otra forma, si pensamos los lados de P como vectores (en sentido antihorario) entonces L(P) es suma de los que son paralelos a L.

Por ejemplo para cualquier recta L y cualquier paralelogramo P se tiene que L(P)=0. Si T es un triangulo equilatero de lado 1 y L es paralela a un lado del triangulo luego L(T)=\pm 1 dependiendo de si el lado de T paralelo a L tiene el mismo sentido que L o el opuesto.

La propiedad crucial es que si un poligono P lo dividimos en otros otros dos, digamos P_1, P_2 entonces:

L(P)=L(P_1 \cup P_2)=L(P_1)+L(P_2)

Notar que mas generalmente vale para un poligono P dividido en cualquier cantidad de poligonos. Es decir, si P lo dividimos en n poligonos P_1, \ldots,P_n luego:

L(P)=L(P_1 \cup \ldots \cup P_n)=L(P_1)+...+L(P_n)

1) Si tenemos un poligono P que se puede dividir en paralelogramos P_1, \ldots, P_n entonces para cualquier recta L,

L(P)=L(P_1 \cup \ldots \cup P_n)=L(P_1)+\ldots +L(P_n)=0

Es decir que si un poligono se puede dividir en paralelogramos entonces L(P)=0 para toda recta L. Es facil ver que si P es ademas convexo, esto significa que P tiene pares de lados opuestos paralelos de igual longitud (que se cancelan y por eso hacen que L(P)=0) es decir que P es simetrico con respecto a algun punto. \ddag

2) Supongamos que tenemos dos poligonos P y Q de forma que podemos dividir a P en varios poligonos, trasladarlos y armar Q. Entonces por lo recien visto, si los poligonos son T_1, \ldots, T_n y L es una recta cualquiera (con una direccion):

L(P)=L(T_1)+\ldots+L(T_n)=L(Q)

Es decir que L(T)=L(Q) para toda recta L. Es facil usando esto construir dos poligonos con la misma area tal que L(T)\neq L(Q) para alguna recta L. Por ejemplo, si T es un triangulo equilatero de lado 1 y C un cuadrado de la misma area entonces si L es paralela a un lado del triangulo entonces L(C)=0 y L(T)=\pm 1.

Hemos probado entonces que no es posible cortar a un cuadrado en varios poligonos y con ellos armar un triangulo equilatero si solo nos es permitido “trasladar”. \ddag

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