Poligono Triangulado

marzo 20, 2008

Se tiene un n-agono convexo dividido en triangulos mediante algunas de sus diagonales de forma que se use una cantidad par de diagonales de cada vertice. Probar que 3|n.

Solucion:

En primer lugar veamos que para cualquier triangulacion de un n-agono mediante diagonales se puede pintar los triangulos de blanco y negro de forma que dos triangulos que comparten un lado tienen distintos colores. Tomemos uno de los triangulos y pintemoslo de negro, a continuacion pintemos los triangulos que comparten un lado con el original de blanco, luego los que comparten un lado con los recien pintados de negro y asi…. no es dificil ver que nunca tendremos ningun problema (del estilo “este lo tengo que pintar de negro pero ya lo pinte de blanco ya que una vez que pintamos un triangulo nos podemos olvidar de él”).

Por lo visto recien, podemos pintar a los triangulos del n-agono de blanco y negro. Ahora, por la condicion de la paridad es facil ver que todos los triangulos que tienen un lado que es lado del n-agono tienen el mismo color; supongamos que negro.

Ahora, ¿cual es la diferencia entre la cantidad de aristas negras y la cantidad de aristas blancas? (arista es un lado de un triangulo, es decir que cada lado del n-agono cuenta como una arista y cada diagonal cuenta como dos aristas (ya que pertenece a dos triangulos) (una arista es blanca si pertenece a un triangulo blanco y viceversa)).

En primer lugar la cantidad de aristas negras es 3 veces la cantidad de triangulos negros (pongamos que hay N triangulos negros y B blancos). Luego la cantidad de aristas negras es 3N y la cantidad de aristas blancas es 3B; de donde su diferencia es 3(N-B). Por otro lado cada diagonal no aporta nada a la diferencia, ya que tiene una arista blanca y una arista negra. Por lo que la diferencia solo la dan los lados del n-agono que siempre aportan una arista negra, por lo que 3(N-B)=n, de donde 3|n.

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