Regla y Reflejometro

Noviembre 30, 2008

Un reflejometro es un instrumento que realiza la siguiente construccion: Dados tres puntos X, Y, Z el reflejometro marca el punto Z' simetrico de Z respecto de la recta XY.

Problema 1) Dado un triangulo ABC, explicar como se puede construir su circuncentro usando solamente regla y reflejometro.

Problema 2) ¿Es posible construir el Incentro del ABC usando solamente regla y reflejometro?

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Noviembre 27, 2008

“I know of scarcely anything so apt to impress the imagination as the wonderful form of cosmic order expressed by the “Law of Frequency of Error”. The law would have been personified by the Greeks and deified, if they had known of it. It reigns with serenity and in complete self-effacement, amidst the wildest confusion. The huger the mob, and the greater the apparent anarchy, the more perfect is its sway. It is the supreme law of Unreason. Whenever a large sample of chaotic elements are taken in hand and marshaled in the order of their magnitude, an unsuspected and most beautiful form of regularity proves to have been latent all along.”

Sir Francis Galton en Natural Inheritance, 1889.

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Triangulando un segmento

Noviembre 21, 2008

Se tiene un segmento y se lo parte en tres pedazos, ¿Cual es la probabilidad de que con ellos se pueda formar un triangulo?

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Acerca de algunas distribuciones

Octubre 13, 2008

En lo que sigue vamos a intentar explicar de donde vienen las distribuciones mas comunes. Los casos de la Poisson y la Normal son los mas interesantes.

Para las 3 primeras consideremos que tenemos una moneda que al tirarla tiene probabilidad p de salir cara y 1-p de salir ceca.

1) Distribucion Binomial

Si X\sim Bi(n,p) entonces p_x(k)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} y X cuenta el numero de caras en n tiradas.

2) Distribucion Geometrica

Si X\sim Ge(p) entonces p_x(k)=p(1-p)^{k-1} y X cuenta el numero de tiradas hasta la primer cara.

3) Distribucion Binomial Negativa

Si X\sim BN(r,p) entonces p_x(k)={k-1\choose r-1}p^r(1-p)^{k-r} y X cuenta el numero de tiradas hasta la r-esima cara.

4) Distribucion Poisson

Si X\sim P(\lambda) entonces p_x(k)={{\lambda}^k\over k!}e^{-\lambda}. Para entender la naturaleza de esta distribucion tenemos que antes probar algunas cosas y dar un par de definciones.

En primer lugar, veamos que la Poisson se puede obtener como limite de binomiales, si X_n\sim Bi(n,p_n) con \lim_{n\rightarrow \infty} np_n=\lambda entonces

\lim_{n\rightarrow \infty} P(X_n=k)= {{\lambda}^k\over k!}e^{-\lambda}=P(X=k)

Ahora, supongamos que para cada t\in \mathbb{R}_{\geq 0} tenemos una variable aleatoria X_t que va a contar la cantidad de ocurrencias de cierto evento en los primeros t segundos. Es razonable pedirle a las X_t que verifiquen las siguientes condiciones:

  • P(X_0=0)=1.
  • P(X_{t+s}-X_s=k)=P(X_t=k) para todos t,s\geq 0.
  • X_{t_1},X_{t_2}-X_{t_1},...,X_{t_n}-X_{t_{n-1}} son variables aleatorias independientes.
  • \lim_{t\rightarrow 0} {P(X_t=1)\over t}=\lambda y \lim_{t\rightarrow 0}{P(X_t>1)\over t}=0.

Si la familia de variables aleatorias \{X_t\} verifica las condiciones anteriores entonces decimos que tenemos un proceso de Poisson y se tiene que X_t\sim P(\lambda t) para todo t\geq 0.

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Borel-Cantelli

Octubre 13, 2008

Lema de Borel-Cantelli:

Sea \{A_n\} una sucesion de eventos, luego

  1. Si \sum P(A_n) < \infty entonces P(A^{\infty})=0.
  2. Si \sum P(A_n) = \infty y los A_n son eventos independientes entonces P(A^{\infty})=1.

Nota: A^{\infty}=\bigcap_{n=0}^{\infty} \bigcup_{k\geq n} A_k.

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Septiembre 28, 2008

”If you don’t see that what you are working on is almost obvious, then you are not ready to work on that yet, …”

Grothendieck

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Mezclando cartas o funciones anticontinuas

Septiembre 14, 2008

Si tenemos un mazo con 5 cartas, las podemos mezclar de modo que dos cartas que eran vecinas dejen de serlo. Por ejemplo si numeramos las cartas 1,2,3,4,5 las podemos reordenar de la siguiente forma: 3,5,2,4,1.

Es facil ver que lo mismo vale para un mazo con n cartas para n\geq 4. Si ahora tenemos una cantidad numerable de cartas ordenadas como los numeros enteros tambien podemos reordenarlas de la siguiente forma:

...,-3,3,-1,1,2,0,-2,4,-4,6,-6,...

¿Que pasa si tenemos un continuo de cartas?

Supongamos que queremos mezclar a los numeros reales; ¿Como interpretar que numeros vecinos dejen de serlo? Ahora ya no tenemos “vecinos” asi que vamos a tener que pedir algo ligeramente distinto. Lo que buscamos es mezclar los numeros de forma que para toda numero x haya un intervalo que lo contenga y un intervalo alrededor de donde quede despues de reordenar las cartas de forma que ninguna carta del primer intervalo quede en el segundo luego de mezclarlas (salvo el x).

La pregunta seria entonces:

¿Existe una biyeccion f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} tal que para todo x\in \mathbb{R} existan \gamma_x,\epsilon_x >0 tales que para todo y\in \mathbb{R} tal que 0<|y-x|<\gamma_x se tiene que |f(y)-f(x)|>\epsilon_x?

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Pascal via Lucas

Julio 31, 2008

Dedicado a mi amigo Charly:Dedicado a mi amigo Charly

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Subgrupos vacios, Subgrupos llenos

Junio 16, 2008

1) Cualquier subgrupo S\subset \mathbb{R} es discreto o denso en \mathbb{R}.

Demostracion:

-Si r=inf\{s\in S:s>0\}>0 entonces no hay dos elementos de S a distancia <r de donde S es discreto.

-Si r=inf\{s\in S:s>0\}=0 entonces para todo \epsilon>0 existe s\in S con 0<s<\epsilon de donde \{ns:n\in \mathbb{Z}\} es una \epsilon-red.

Hemos demostrado entonces que todo subgrupo de \mathbb{R} es discreto o denso. \ddag

2) Cualquier subgrupo S\subset \mathbb{R} tiene medida cero o medida exterior maxima en cada subintervalo.

Demostracion:

Podemos suponer que S es denso en \mathbb{R}, pues en caso contrario seria discreto entonces numerable de donde tendria medida cero.

Si s\in S entonces S=S+s de donde

|S\cap [a,b]|_e=|S\cap [a+s,b+s]|_e

Por la continuidad de la medida y por ser S denso en \mathbb{R} podemos concluir que para todo r\in\mathbb{R} se tiene que:

|S\cap [a,b]|_e=|S\cap [a+r,b+r]|_e

Pongamos entonces f(x)=|S\cap [0,x]|_e y se tiene que para todo a,b\in \mathbb{R}:

|S\cap [a,b]|_e=f(b-a)

Luego f es aditiva y monotona creciente de donde f es lineal. Es decir que existe una constante k\in \mathbb{R} tal que f(x)=kx o dicho de otra forma, para todos a,b\in \mathbb{R} se tiene que

|S\cap [a,b]|_e=k(b-a)

Pero entonces (*) k=0 o k=1 lo que prueba el enunciado. \ddag

(*) Si A\subset \mathbb{R} con |A|_e>0 entonces para todo \epsilon <1 existen a,b\in \mathbb{R} tales que |A\cap [a,b]|_e>\epsilon(b-a).

Comentario: Si consideremos \mathbb{R} como \mathbb{Q}-espacio vectorial entonces tenemos un subespacio S tal que \mathbb{R}=S\oplus \mathbb{Q}. El subespacio S es un subgrupo de \mathbb{R} que por lo anterior tendra medida exterior maxima en cada subintervalo. Hemos construido entonces un Vitali de medida exterior maxima en cualquier subintervalo!

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Sobre lo Local y lo Global- Parte 1(Lema de Vitali)

Junio 16, 2008

El teorema de diferenciacion de Lebesgue dice que:

Si f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} es una funcion integrable Lebesgue entonces para casi todo x\in \mathbb{R}^n se tiene que:

f(x) = \lim_{B\rightarrow x} \int_Bf(y)dy

Donde B es una bola centrada en x y B\rightarrow x significa diam\ B\rightarrow 0.

Pretendo expresar porque este me parece un teorema “dificil” y porque el lema de Vitali es la clave en su demostracion.

Comencemos por otro lado y consideremos las siguientes afirmaciones sobre una funcion f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}:

  1. La funcion f es continua en x=0.
  2. La funcion f es continua en todo punto.
  3. La funcion f es continua en casi todo punto.

La primera de ellas es una afirmacion local acerca del comportamiento de f. La segunda, si bien afirma algo para todo punto, sigue siendo de caracter local, para probarla alcanza tomar un punto y concentrarnos cerca de él.

En resumen, la primera afirmacion es local y la segunda es, a lo sumo, una afirmacion local sobre cada punto. La tercera de ellas, si bien quiere parecer local, es esencialmente distinta a las otras dos y eso debido a que es “global”.

Ya no podemos usar el argumento de concentrarnos en un punto y probar la propiedad, simplemente porque eso puede resultar falso! El hecho de que la propiedad valga para CASI todo punto la hace mucho mas complicada.

Cuando yo por primera vez queria probar el teorema de diferenciacion de Lebesgue comenzaba de la siguiente manera: tomaba un punto y trataba de demostrar que el limite en cuestion valia concentrandome cerca del punto elegido. ¡Claro que nunca iba a lograrlo! Porque de esa forma estaria probando que la igualdad vale para todo punto, lo que es falso!. El inocente “para casi todo punto” es lo que lo vuelve un enunciado mucho mas dificil. Ya no podemos simplemente probarlo “localmente”…. es necesario un argumento mas…algo que conecte lo local y lo global.

En principio uno dice, “Pero si no me concentro en un punto…..¿que queda por hacer?”…. en realidad no esta tan mal hacer eso, pero precisamos alguna forma de recolectar esa informacion y pegarla toda.

Quien viene en nuestra ayuda es el lema de Vitali, él es quien en cierta forma establece un puente entre “lo local” y “lo global”. La estrategia de la demostracion es hacer varias observaciones locales y conectarlas todas via el lema de Vitali para obtener algo “global”.

Aqui reside la dificultad del teorema de diferenciacion de Lebesgue, es un enunciado global disfrazado de local y es por eso que requiere de algun argumento/idea/observacion que “conecte” estos dos extremos.

Otra manifestacion de lo anterior es en los teoremas de Carleson acerca de la convergencia de las series o transformada de Fourier. Por ejemplo, para toda funcion continua su serie de fourier converge en casi todo punto al valor esperado. Si el enunciado fuese “…converge en TODO punto…” seria mucho mas sencillo (*), es este “en casi todo punto” el que la da una dificultad extra.

Y es este el rol de el lema de Vitali, los lemas de cubrimiento o descomposiciones astutas (por ejemplo la de una variedad diferenciable para probar la dualidad de Poincare), son construcciones que nos permiten conectar lo local y lo global.

(*)Pues en general, lo local es facil.

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