Regla y Reflejometro

Un reflejometro es un instrumento que realiza la siguiente construccion: Dados tres puntos el reflejometro marca el punto simetrico de respecto de la recta .

Problema 1) Dado un triangulo , explicar como se puede construir su circuncentro usando solamente regla y reflejometro.

Problema 2) ¿Es posible construir el Incentro del usando solamente regla y reflejometro?

Triangulando un segmento

Se tiene un segmento y se lo parte en tres pedazos, ¿Cual es la probabilidad de que con ellos se pueda formar un triangulo?

Mezclando cartas o funciones anticontinuas

Si tenemos un mazo con cartas, las podemos mezclar de modo que dos cartas que eran vecinas dejen de serlo. Por ejemplo si numeramos las cartas las podemos reordenar de la siguiente forma: .

Es facil ver que lo mismo vale para un mazo con cartas para . Si ahora tenemos una cantidad numerable de cartas ordenadas como los numeros enteros tambien podemos reordenarlas de la siguiente forma:

¿Que pasa si tenemos un continuo de cartas?

Supongamos que queremos mezclar a los numeros reales; ¿Como interpretar que numeros vecinos dejen de serlo? Ahora ya no tenemos “vecinos” asi que vamos a tener que pedir algo ligeramente distinto. Lo que buscamos es mezclar los numeros de forma que para toda numero haya un intervalo que lo contenga y un intervalo alrededor de donde quede despues de reordenar las cartas de forma que ninguna carta del primer intervalo quede en el segundo luego de mezclarlas (salvo el ).

La pregunta seria entonces:

¿Existe una biyeccion tal que para todo existan tales que para todo tal que se tiene que ?

Curva de Medibles

Supongamos que tenemos un espacio de medida finita y definamos una relacion de equivalencia entre los medibles por si . Podemos entonces darle al conjunto de clases de equivalencias estructura de espacio metrico definiendo la siguiente distancia: .

Luego, si la medida es no-atomica, resulta un espacio metrico arco-conexo!!!!

Funciones Armonicas Discretas

Problema: Si tenemos un numero real entre en cada punto con coordenadas enteras del plano de forma que cada numero sea el promedio de sus cuatro vecinos entonces todos los numeros son iguales.

El Conjunto de Sierpinski

Existe un conjunto tal que

• No tiene tres puntos alineados
• Para todo cerrado con se tiene que

Nota: De la segunda condicion se deduce que pues en caso contrario deberia existir un abierto con y pero entonces si ponemos tenemos que contradice la segunda condicion.

Todos medibles

1) Sea tal que para todo , se tiene que es medible. Probar que .

2) Probar que existe una medida signada FINITAMENTE ADITIVA sobre todos los subconjuntos del tal que para todo medible. ¿Se puede pedir positiva?

3) (Ulam) Probar que si es una medida finita definida para TODOS los subconjuntos de un conjunto de cardinal tal que para todo en entonces .

Espacios Metricos Universales

Sea si y si . Esto define una distancia en (la “discreta”).

Si al conjunto de suceciones de enteros positivos le ponemos la siguiente distancia,

Entonces resulta un espacio metrico completo y separable.

Por otro lado, con la misma distancia es un espacio metrico homeomorfo al Cantor, de donde es compacto.

Veamos que en algun sentido, son los espacios metricos mas grandes con tales propiedades.

1) Sea un espacio metrico completo y separable. Probar que existe continua, abierta y sobreyectiva.

2) Sea un espacio metrico compacto. Probar entonces que existe continua, abierta y sobreyectiva.

Clases Monotonas

Dado un conjunto y una familia de subconjuntos de decimos que:

1. es un “Algebra” si para todos en se tiene que y estan en .
2. es una “-Algebra” si para todos en se tiene que y estan en .
3. es una “Clase Monotona” si para todos en tales que () para todo se tiene que () esta en .

Ademas vamos a denotar por a la menor Clase Monotona que contiene a y por a la menor -Algebra que contiene a .

Teorema: Si es un algebra entonces .

Cortar Poligonos

1) ¿Que poligonos convexos se pueden dividir en paralelogramos?

2) Es conocido que a todo poligono se lo puede cortar en varios poligonos y con ellos armar cualquier otro poligono con la misma area que el original. ¿Es posible hacer esto solo trasladando los pedazos?