Probabilidad « Separata

Sobre Proba

diciembre 21, 2008

1_ Aleatoriedad, Esperanza y Varianza.
2_ Probabilidad como frecuencia relativa.
3_ ¿Que es la ley de los grandes numeros?¿Por que se llama asi?
4_ ¿Que significa el teorema central del limite?
5_ ¿De donde sale la distribucion de Poisson? ¿Que es un proceso de Poisson?
6_ Variable Aleatoria vs Funcion medible
7_ Sigma-algebra como informacion.
8_ ¿En que se diferencia la Teoria de la Medida de la Teoria de Probabilidades?
9_ Real-Proba o Proba-Real
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Publicado por charlydif
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noviembre 27, 2008

“I know of scarcely anything so apt to impress the imagination as the wonderful form of cosmic order expressed by the “Law of Frequency of Error”. The law would have been personified by the Greeks and deified, if they had known of it. It reigns with serenity and in complete self-effacement, amidst the wildest confusion. The huger the mob, and the greater the apparent anarchy, the more perfect is its sway. It is the supreme law of Unreason. Whenever a large sample of chaotic elements are taken in hand and marshaled in the order of their magnitude, an unsuspected and most beautiful form of regularity proves to have been latent all along.”

Sir Francis Galton en Natural Inheritance, 1889.

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Triangulando un segmento

noviembre 21, 2008

Se tiene un segmento y se lo parte en tres pedazos, ¿Cual es la probabilidad de que con ellos se pueda formar un triangulo?

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Acerca de algunas distribuciones

octubre 13, 2008

En lo que sigue vamos a intentar explicar de donde vienen las distribuciones mas comunes. Los casos de la Poisson y la Normal son los mas interesantes.

Para las 3 primeras consideremos que tenemos una moneda que al tirarla tiene probabilidad $p$ de salir cara y $1-p$ de salir ceca.

1) Distribucion Binomial

Si $X\sim Bi(n,p)$ entonces $p_x(k)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}$ y $X$ cuenta el numero de caras en $n$ tiradas.

2) Distribucion Geometrica

Si $X\sim Ge(p)$ entonces $p_x(k)=p(1-p)^{k-1}$ y $X$ cuenta el numero de tiradas hasta la primer cara.

3) Distribucion Binomial Negativa

Si $X\sim BN(r,p)$ entonces $p_x(k)={k-1\choose r-1}p^r(1-p)^{k-r}$ y $X$ cuenta el numero de tiradas hasta la $r-$ esima cara.

4) Distribucion Poisson

Si $X\sim P(\lambda)$ entonces $p_x(k)={{\lambda}^k\over k!}e^{-\lambda}$ . Para entender la naturaleza de esta distribucion tenemos que antes probar algunas cosas y dar un par de definciones.

En primer lugar, veamos que la Poisson se puede obtener como limite de binomiales, si $X_n\sim Bi(n,p_n)$ con $\lim_{n\rightarrow \infty} np_n=\lambda$ entonces

$\lim_{n\rightarrow \infty} P(X_n=k)= {{\lambda}^k\over k!}e^{-\lambda}=P(X=k)$

Ahora, supongamos que para cada $t\in \mathbb{R}_{\geq 0}$ tenemos una variable aleatoria $X_t$ que va a contar la cantidad de ocurrencias de cierto evento en los primeros $t$ segundos. Es razonable pedirle a las $X_t$ que verifiquen las siguientes condiciones:

$P(X_0=0)=1$ .
$P(X_{t+s}-X_s=k)=P(X_t=k)$ para todos $t,s\geq 0$ .
$X_{t_1},X_{t_2}-X_{t_1},...,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$ son variables aleatorias independientes.
$\lim_{t\rightarrow 0} {P(X_t=1)\over t}=\lambda$ y $\lim_{t\rightarrow 0}{P(X_t>1)\over t}=0$ .

Si la familia de variables aleatorias $\{X_t\}$ verifica las condiciones anteriores entonces decimos que tenemos un proceso de Poisson y se tiene que $X_t\sim P(\lambda t)$ para todo $t\geq 0$ .