Subgrupos vacios, Subgrupos llenos

1) Cualquier subgrupo es discreto o denso en .

Demostracion:

-Si entonces no hay dos elementos de a distancia de donde es discreto.

-Si entonces para todo existe con de donde es una -red.

Hemos demostrado entonces que todo subgrupo de es discreto o denso.

2) Cualquier subgrupo tiene medida cero o medida exterior maxima en cada subintervalo.

Demostracion:

Podemos suponer que es denso en , pues en caso contrario seria discreto entonces numerable de donde tendria medida cero.

Si entonces de donde

Por la continuidad de la medida y por ser denso en podemos concluir que para todo se tiene que:

Pongamos entonces y se tiene que para todo :

Luego es aditiva y monotona creciente de donde es lineal. Es decir que existe una constante tal que o dicho de otra forma, para todos se tiene que

Pero entonces (*) o lo que prueba el enunciado.

(*) Si con entonces para todo existen tales que .

Comentario: Si consideremos como -espacio vectorial entonces tenemos un subespacio tal que . El subespacio es un subgrupo de que por lo anterior tendra medida exterior maxima en cada subintervalo. Hemos construido entonces un Vitali de medida exterior maxima en cualquier subintervalo!

Sobre lo Local y lo Global- Parte 1(Lema de Vitali)

El teorema de diferenciacion de Lebesgue dice que:

Si es una funcion integrable Lebesgue entonces para casi todo se tiene que:

Donde es una bola centrada en y significa .

Pretendo expresar porque este me parece un teorema “dificil” y porque el lema de Vitali es la clave en su demostracion.

Comencemos por otro lado y consideremos las siguientes afirmaciones sobre una funcion :

1. La funcion es continua en .
2. La funcion es continua en todo punto.
3. La funcion es continua en casi todo punto.

La primera de ellas es una afirmacion local acerca del comportamiento de . La segunda, si bien afirma algo para todo punto, sigue siendo de caracter local, para probarla alcanza tomar un punto y concentrarnos cerca de él.

En resumen, la primera afirmacion es local y la segunda es, a lo sumo, una afirmacion local sobre cada punto. La tercera de ellas, si bien quiere parecer local, es esencialmente distinta a las otras dos y eso debido a que es “global”.

Ya no podemos usar el argumento de concentrarnos en un punto y probar la propiedad, simplemente porque eso puede resultar falso! El hecho de que la propiedad valga para CASI todo punto la hace mucho mas complicada.

Cuando yo por primera vez queria probar el teorema de diferenciacion de Lebesgue comenzaba de la siguiente manera: tomaba un punto y trataba de demostrar que el limite en cuestion valia concentrandome cerca del punto elegido. ¡Claro que nunca iba a lograrlo! Porque de esa forma estaria probando que la igualdad vale para todo punto, lo que es falso!. El inocente “para casi todo punto” es lo que lo vuelve un enunciado mucho mas dificil. Ya no podemos simplemente probarlo “localmente”…. es necesario un argumento mas…algo que conecte lo local y lo global.

En principio uno dice, “Pero si no me concentro en un punto…..¿que queda por hacer?”…. en realidad no esta tan mal hacer eso, pero precisamos alguna forma de recolectar esa informacion y pegarla toda.

Quien viene en nuestra ayuda es el lema de Vitali, él es quien en cierta forma establece un puente entre “lo local” y “lo global”. La estrategia de la demostracion es hacer varias observaciones locales y conectarlas todas via el lema de Vitali para obtener algo “global”.

Aqui reside la dificultad del teorema de diferenciacion de Lebesgue, es un enunciado global disfrazado de local y es por eso que requiere de algun argumento/idea/observacion que “conecte” estos dos extremos.

Otra manifestacion de lo anterior es en los teoremas de Carleson acerca de la convergencia de las series o transformada de Fourier. Por ejemplo, para toda funcion continua su serie de fourier converge en casi todo punto al valor esperado. Si el enunciado fuese “…converge en TODO punto…” seria mucho mas sencillo (*), es este “en casi todo punto” el que la da una dificultad extra.

Y es este el rol de el lema de Vitali, los lemas de cubrimiento o descomposiciones astutas (por ejemplo la de una variedad diferenciable para probar la dualidad de Poincare), son construcciones que nos permiten conectar lo local y lo global.

(*)Pues en general, lo local es facil.

Curva de Medibles

Supongamos que tenemos un espacio de medida finita y definamos una relacion de equivalencia entre los medibles por si . Podemos entonces darle al conjunto de clases de equivalencias estructura de espacio metrico definiendo la siguiente distancia: .

Luego, si la medida es no-atomica, resulta un espacio metrico arco-conexo!!!!

Acerca de como cortar la torta

Dada una torta y personas, cada una de ellas con una medida (*) sobre la torta es posible repartirla de forma que cada persona considere que recibio al menos de la torta (respecto de su medida). Mas aun, si entre las medidas hay al menos dos distintas entonces se puede conseguir que todos crean recibir mas que .

(*) Aca entenderemos por “medida” una medida de probabilidad no atomica (una medida se dice no-atomica si para todo con se puede partir en de forma que ). Ademas vamos a suponer que la torta es un compacto de y que las medidas son borelianas.

El Conjunto de Sierpinski

Existe un conjunto tal que

• No tiene tres puntos alineados
• Para todo cerrado con se tiene que

Nota: De la segunda condicion se deduce que pues en caso contrario deberia existir un abierto con y pero entonces si ponemos tenemos que contradice la segunda condicion.

Todos medibles

1) Sea tal que para todo , se tiene que es medible. Probar que .

2) Probar que existe una medida signada FINITAMENTE ADITIVA sobre todos los subconjuntos del tal que para todo medible. ¿Se puede pedir positiva?

3) (Ulam) Probar que si es una medida finita definida para TODOS los subconjuntos de un conjunto de cardinal tal que para todo en entonces .

Los verdaderos medibles

Lo que sigue no pretende ir a ningun lado, es solo una pregunta y algunos pensamientos al respecto. Es mas bien la historia de como fue evolucionando cierta sensacion (de que entre los medibles habia algunos colados).

Sea un subconjunto no medible de y pensemoslo como un subconjunto de . Como esta contenido en la recta y esta tiene medida nula entonces resulta medible en . ¿Merece este conjunto ser llamado “medible”?

¿Queremos que un mismo conjunto no sea medible en pero sí en ? ¿El ser medible es una propiedad intrinseca del conjunto o depende de su “ambiente”? ¿Son todos los medibles “verdaderamente medibles”?

Medidas de Banach

La paradoja de Banach-Tarski dice que es posible cortar a una esfera en cinco pedazos y con ellos armar dos esferas iguales a la original. Lo primero por lo que uno piensa que esto deberia ser falso es que no podemos “duplicar el volumen”. El problema con este argumento es que formalizar lo que entendemos por “volumen” no es tan facil como parece, resulta que si bien podemos calcular el volumen de la esfera, no podemos calcular el de los pedazos, ya que estos tienen una estructura demasiada complicada como para asignarles un volumen.

Mas precisamente, la paradoja muestra que no existe ninguna medida que a cada subconjunto de le asocie un numero real no negativo tal que

• Si y son disjuntos entonces .
• Si y son iguales entonces .

Nota: Decimos que y subconjuntos de son “iguales” si existe un movimiento rigido de (traslacion + rotacion + reflexion) tal que .

Todo esto es muy conocido y no es de lo que quiero hablar (y mucho menos del uso del axioma de eleccion que usualmente se roba todo el protagonismo de la paradoja). A pesar que no existe tal para los subconjuntos de , sí existe para o ; estas son las “Medidas de Banach” (ie: medidas positivas finitamente aditivas e invariantes por movimientos rigidos). Veamos entonces como construir tal medida y tratemos de contestar la siguiente pregunta,

¿Porque y admiten Medidas de Banach y en el otro extremo admite paradojas como Banach-Tarski?