Morfismo de K-Algebras

Sea un cuerpo cualquiera y denotemos por el anillo de matrices de con su estructura de algebra natural.

Probar que si se tiene un morfismo de algebras entonces divide a .

Nota: No se cual es la defincion usual de morfimos de algebras pero le pido que .

Sobre la construccion de la Clausura Algebraica

En general para demostrar que para todo cuerpo existe su clausura algebraica se procede de la siguiente manera:

Pongamos y construyamos una extension algebraica tal que todo polinomio de tenga una raiz en (*). Analogamente se va construyendo una sucesion de cuerpos (cada uno algebraico sobre el anterior) tal que todo polinomio en tenga una raiz en

Finalmente se toma y se prueba que todo polinomio en tiene una raiz en de donde es algebraicamente cerrado.

Vale la pena remarcar que en realidad no hace falta irse tan lejos, de hecho ya es algebraicamente cerrado!!!!

Mas precisamente:

Sea una extension algebraica de cuerpos tal que todo polinomio en tiene una raiz en . Probar que es algebraicamente cerrad0.

Raices, Trazas y Grupos de Galois

Probar que no es racional.

Dominios de Dedekind

En lo que sigue consideremos un anillo integro con unidad y denotemos por su cuerpo de fracciones (asumamos de paso que ). Un ideal fraccionario es un submodulo de finitamente generado.

Las siguientes afirmaciones sobre son equivalentes:

1) Todo ideal se factoriza de forma unica como producto de primos.
2) Es noetheriano, primo implica maximal e integramente cerrado.
3) Todo ideal fraccionario es inversible (ie: para todo ideal fraccionario existe un ideal fraccioanrio tal que ).

Es interesante como varios libros de textos definen un anillo de Dedekind via 2) y luego prueban 1) sin mencionar que esto es en realidad una equivalencia (e historicamente la motivacion original para estudiar tales anillos!!). Esto se debe a que en general es mucho mas facil chequear 2) que 1) (por ejemplo para el caso del anillo de enteros de un cuerpo de numeros).