Funciones Armonicas Discretas

Problema: Si tenemos un numero real entre en cada punto con coordenadas enteras del plano de forma que cada numero sea el promedio de sus cuatro vecinos entonces todos los numeros son iguales.

Acerca de como cortar la torta

Dada una torta y personas, cada una de ellas con una medida (*) sobre la torta es posible repartirla de forma que cada persona considere que recibio al menos de la torta (respecto de su medida). Mas aun, si entre las medidas hay al menos dos distintas entonces se puede conseguir que todos crean recibir mas que .

(*) Aca entenderemos por “medida” una medida de probabilidad no atomica (una medida se dice no-atomica si para todo con se puede partir en de forma que ). Ademas vamos a suponer que la torta es un compacto de y que las medidas son borelianas.

Liouville via Krein-Milman

Decimos que una funcion es armonica si para todo

Nota:

Teorema (Liouville): Si es armonica y acotada entonces es constante.

Extraña sucesion

En todo espacio de Banach separable con existe tal que y .

Hahn-Banach G-Invariante

Sea un espacio vectorial real, una funcion sublineal, un subespacio de y lineal tal que . Supongamos ademas que tenemos un grupo resoluble de transformaciones lineales de tal que son G-invariantes. Luego existe lineal, G-invariante, tal que para todo en y para todo en .