Problema: Si tenemos un numero real entre 0,1 en cada punto con coordenadas enteras del plano de forma que cada numero sea el promedio de sus cuatro vecinos entonces todos los numeros son iguales.

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Dada una torta y n personas, cada una de ellas con una medida (*) sobre la torta es posible repartirla de forma que cada persona considere que recibio al menos {1\over n} de la torta (respecto de su medida). Mas aun, si entre las n medidas hay al menos dos distintas entonces se puede conseguir que todos crean recibir mas que {1\over n}.

(*) Aca entenderemos por “medida” una medida de probabilidad no atomica (una medida \mu se dice no-atomica si para todo A con \mu(A)>0 se puede partir A en A_1,A_2 de forma que \mu(A_1),\mu(A_2) >0). Ademas vamos a suponer que la torta es un compacto de \mathbb{R}^3 y que las medidas son borelianas.

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Decimos que una funcion f:{\mathbb{R}^2}\rightarrow {\mathbb{R}} es armonica si para todo x\in {\mathbb{R}^2}

f(x)=\int _{\mathbb{D}}f(x+y)dy

Nota: \mathbb{D}=\{x\in {\mathbb{R}^2}: ||x||\leq 1\}

Teorema (Liouville): Si f es armonica y acotada entonces es constante.

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Extraña sucesion

junio 5, 2008

En todo espacio de Banach separable E con dim E = \infty existe \{x_n\}\subset E tal que ||x_n||\rightarrow \infty y {\overline {\{x_n\}}^w}=E.

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Hahn-Banach G-Invariante

abril 6, 2008

Sea E un espacio vectorial real, P:E\rightarrow \mathbb{R} una funcion sublineal, L un subespacio de E y g:L\rightarrow \mathbb{R} lineal tal que g(y)\leq P(y). Supongamos ademas que tenemos un grupo resoluble G de transformaciones lineales de E tal que L,P,g son G-invariantes. Luego existe f:E\rightarrow \mathbb{R} lineal, G-invariante, tal que f(y)=g(y) para todo y en Ly f(x)\leq P(x) para todo x en E. Leer el resto de esta entrada »

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