Morfismo de K-Algebras

Febrero 24, 2009

Sea $K$ un cuerpo cualquiera y denotemos por ${\cal M}_n(K)$ el anillo de matrices de $n\times n$ con su estructura de $K-$ algebra natural.

Probar que si se tiene un morfismo de $K-$ algebras $\psi:{\cal M}_m(K)\rightarrow{\cal M}_n(K)$ entonces $m$ divide a $n$ .

Nota: No se cual es la defincion usual de morfimos de $K-$ algebras pero le pido que $\psi(I_m)=I_n$ .

Demostracion:

Vamos a hacer una pequeña suposicion sobre el cuerpo $K$ y despues vamos a ver como resolver el caso general. Lo que vamos a suponer es que existe un polinomio irreducible $P(x)\in K[x]$ de grado $m$ .

Tomemos una matriz $A\in {\cal M}_m(K)$ tal que $P(x)$ sea su polinomio minimal (por ejemplo la matriz “compañera” del polinomio $P(x)$ ). Como $\psi$ es morfismo de $K-$ algebras entonces

$P(\psi(A))=\psi(P(A))=0$

Pero como $A$ es inversible (en caso contrario su minimal no seria irreducible de grado $m$ ) entonces $\psi(A)\neq 0$ y el minimal de $\psi(A)$ tiene que ser $P(x)$ (ya que $P(\psi(A))=0$ y $P(x)$ es irreducible).

Hemos probado entonces que el minimal de $\psi(A)$ es un polinomio irreducible de grado $m$ , pero en ese caso su caracteristico es una potencia del minimal. Es decir que existe $k$ tal que el caracteristico de $\psi(A)$ es $P(x)^k$ que tiene grado $km$ de donde $n=km$ y $m$ divide a $n$ .

Para el caso general notemos que si existe tal morfismo para el cuerpo $K$ entonces tambien existe para cualquier extension $L$ de $K$ . El punto es que la existencia del morfismo es simplemente un sistema de ecuaciones en ${\cal M}_n(K)$ cuyas incognitas son $X_{ij}=\psi(E^{ij})$ con $1\leq i,j\leq m$ (donde $E^{ij}$ son las matrices que tienen cero en todas los coeficientes salvo en el lugar $(i,j)$ ).

Hay que probar entonces que para todo cuerpo $K$ existe una extension $L$ para la que existe un polinomio irreducible de grado $m$ en $L[x]$ . Basta poner $L=K(y)$ , (con $y$ trascendente sobre $K$ ) pues $x^m-y\in K(y)[x]$ es irreducible de grado $m$ . $\ddag$

La demostracion anterior usa una de mis “cosas favoritas”, el hecho de que el minimal y el caracteristico tienen los mismos factores primos; en particular si el minimal es irreducible entonces el caracteristico es una potencia suya (aca hay otra aplicacion).

Hay una solucion que anda para el caso $K$ algebraicamente cerrado usando Artin-Wedderburn, pero como nunca entendi ese teorema ni idea como es.

El truco de agregarle una variable independiente a $K$ para que el cuerpo verifique la condicion extra es de las cosas mas sucias que confieso haber hecho.

Posted by charlydif
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6 Comments »

6 Responses to “Morfismo de K-Algebras”

Grin Without a Cat Says:

Febrero 25, 2009 at 4:30 pm
En característica cero, una prueba tonta es la siguiente.

Sea $\phi:M_m(k)\to M_n(k)$ un morfismo de álgebras. Sean $e_1$ , $\dots$ , $e_m$ las matrices elementales idempotentes ( $e_i$ es cero salvo en la posicion $(i, i)$ , donde tiene un $1$ ).

Como $e_1$ , $\dots$ , $e_m$ son conjugadas en $M_m(k)$ , es claro que $\phi(e_1)$ , $\dots$ , $\phi(e_m)$ son conjugadas en $M_n(k)$ . Por otro lado, como $e_1+\cdots+e_m=I_m$ , es $\phi(e_1)+\cdots+\phi(e_m)=I_n$ y, tomando trazas en la última igualdad, vemos que $m\mathrm{tr}\;\phi(e_1)=\mathrm{tr}\;\phi(e_1)+\cdots+\mathrm{tr}\;\phi(e_m)=\mathrm{tr}\;I_n=n$ . Como $e_1$ es idempotente, $\phi(e_1)$ es idempotente y en consecuencia su traza es un entero. Concluimos así que $m\nmid n$ .
Grin Without a Cat Says:

Febrero 25, 2009 at 4:31 pm
Claro, quiero decir $m\mid n$ …
charlydif Says:

Febrero 26, 2009 at 3:51 pm
Copado! Es el tipo de demostraciones que me gustaria haber encontrado a mi!!
Grin Without a Cat Says:

Febrero 26, 2009 at 5:25 pm
By the way, este resultado es importante en la construcción de una familia de $C^*$ -álgebras de lo más importante, las aproximadamente finitas (AF-algebras, en la jerga), que son limites directos de sub- $C^*$ -álgebras de dimensión finita y que son una clase importante de ejemplos porque se clasifican por su K-teoría, entre otras cosas. Que $\text{[math]}$ m$ divida a $n$ es uno de los puntos claves de la construcción; supongo que usar trazas debe ser la prueba estándar: a esa gente las trazas les encantan! Una frase para buscar esto es “diagrama de Brateli”…

Uno puede preguntar: ¿cuántos morfismos $M_m(k)\to M_n(k)$ hay (a menos de conjugación, digamos)?
Grin Without a Cat Says:

Marzo 2, 2009 at 2:42 am
El otro día, mientras luchaba por no dormirme escuchándolo a Mr. K, pensaba en tu «confesión» de desagrado ante el truco de haber agregado una variable al cuerpo…

En realidad, ese truco está en la base de buena parte de la geometría algebraica clásica (es decir, de antes de la venida de los esquemas de la mano de Grothendieck): al resolver una cuestión relativa a un cuerpo $K$ uno admitia la existencia de un «cuerpo universal», esto es, una extensión algebraicamente cerrada de $K$ de grado de trascendencia infinito sobre $K$ (sobre el cuerpo primo, &c), con el objetivo más o menos general de hacer el tipo de cosas que vos hiciste. Cf., si mal no me acuerdo, el libro de Weil sobre Foundations of Algebraic Geometry.
Juan Domingo Petruzza Says:

Julio 10, 2009 at 6:17 pm
Supongo que con un poco de semisimplicidad sale queel morfismo es pegar diagonalmente n/m copias de la matriz (salvo conjugación).

Separata